ZABR à partir de zéro
1/5SABR avec un backbone flexible
Selon SABR, le forward diffuse avec une vol proportionnelle à Fᵝ -- une loi de puissance. Ce seul exposant β contrôle tout le backbone. ZABR remplace la loi de puissance par une fonction générale γ(F). Même structure que SABR, mais le backbone peut prendre n'importe quelle forme.
Dans le SABR standard, l'EDS du forward est :
ZABR généralise cela en remplaçant Fᵝ par une fonction lisse arbitraire γ(F) :
SABR vous donne une seule tige pliable : la loi de puissance Fᵝ. Modifier β plie la tige dans un sens ou dans l'autre, mais c'est toujours la même famille de formes. ZABR vous permet de changer complètement de tige avant de commencer à plier. La forme de la tige est le backbone, et ZABR dit : choisissez la forme qui convient à votre marché.
Si vous posez γ(F) = Fᵝ, vous retrouvez exactement SABR. ZABR est une généralisation stricte. La question est : quand cette flexibilité supplémentaire est-elle utile ?
La fonction γ fonction
Dans SABR, γ(F) = Fᵝ. Dans ZABR, γ(F) peut être définie par morceaux, par spline, ou être toute fonction positive lisse. Le backbone de vol locale peut donc présenter des ruptures de pente, des paliers, des inflexions -- des formes qu'aucune loi de puissance unique ne peut produire.
La fonction de backbone γ(F) indique au modèle : pour chaque niveau du forward, quelle est la sensibilité de la vol locale aux chocs de vol stochastique ? Un γ(F) élevé à un niveau donné signifie que la vol est très réactive lorsque le prix se trouve à ce niveau. Un γ(F) faible signifie que la vol y est atténuée.
Le Fᵝ: de SABR : une fonction monotone. Lorsque β < 1, γ croît de façon sous-linéaire -- la sensibilité de la vol est relativement plus élevée à F faible. Lorsque β = 1, γ croît linéairement. Mais elle est toujours lisse, monotone et concave.
Le γ(F) général de ZABR : peut être non monotone. Peut avoir un palier (la sensibilité de la vol sature à F faible). Peut avoir une rupture de pente (changement brusque de sensibilité à un certain niveau de prix). Peut être linéaire par morceaux, une spline, ou toute forme paramétrique de votre choix.
Faites glisser le curseur β et comparez le backbone en loi de puissance de SABR avec les deux alternatives ZABR. Le backbone « palier » s'aplatit à F faible -- il indique que la sensibilité de la vol sature quand le forward est très bas, ce qui évite l'explosion que SABR avec β faible produit près de zéro. Le backbone « courbe en S » concentre la sensibilité de la vol dans une bande autour du forward actuel, ce qui constitue une hypothèse structurelle différente sur le comportement des marchés.
L'outil ci-dessus vous permet de déplacer les points de contrôle pour créer n'importe quelle forme de backbone et observer le smile résultant. Le lien entre la forme du backbone et celle du smile est direct : là où γ(F) est pentue, le smile a plus de courbure ; là où γ(F) est plate, le smile est plus régulier.
Pourquoi généraliser le backbone ?
Certains marchés présentent des smiles que le Fᵝ de SABR ne peut pas reproduire. Quand le backbone lui-même est erroné, aucun ajustement des paramètres ne peut sauver complètement la calibration. ZABR permet au backbone de s'adapter.
Taux proches de zéro. Lorsque les taux d'intérêt sont proches de zéro ou négatifs, le backbone SABR pose des problèmes. Avec β faible, le terme Fᵝ peut produire une vol extrême à F faible, créant des smiles irréalistes. Avec β élevé, le modèle ne peut pas du tout gérer les taux négatifs. ZABR avec un backbone comme γ(F) = (F + d)ᵝ (loi de puissance décalée) ou une fonction tanh gère cela sans difficulté.
Spreads de crédit. Les smiles des options sur CDS ont souvent des formes que SABR rate systématiquement dans l'aile gauche. La dynamique du spread à des niveaux bas (proche du défaut) diffère de celle à des niveaux élevés. Un backbone par morceaux peut capturer cette transition.
Vol actions lors de changements de régime. Après une forte correction, le smile peut développer des caractéristiques (ruptures de pente, pentes accentuées sur certaines plages de strikes) que la loi de puissance lisse de SABR ne peut pas reproduire. ZABR avec un backbone spline peut capturer ces caractéristiques transitoires.
Basculez entre les deux préréglages ci-dessus. Dans le cas « marché normal », SABR et ZABR produisent des smiles quasi identiques -- la flexibilité supplémentaire de ZABR n'est pas nécessaire. Dans le cas « aile gauche avec rupture de pente », SABR rate systématiquement la rupture. Le backbone de ZABR peut s'adapter pour la reproduire.
La leçon : ZABR ne se justifie que lorsqu'il existe une inadéquation systématique du backbone. Si SABR calibre bien, il n'y a aucune raison d'ajouter la complexité d'un backbone sur mesure. Le critère de sélection du modèle est empirique : le résidu entre le meilleur ajustement de SABR et le marché montre-t-il un schéma qu'un autre backbone pourrait corriger ?
Le développement asymptotique
ZABR utilise le même développement asymptotique à la Hagan que SABR, mais avec γ(F) à la place de Fᵝ. La structure de la formule est identique ; seule la fonction de backbone change.
La formule SABR de Hagan-Woodward (2002) est un développement asymptotique de la vol implicite en puissances de la vol de vol ν et de l'échéance T. L'élément clé est une transformation du niveau du forward vers un espace de « vol normale » via une intégrale faisant intervenir le backbone :
Le reste de la formule de Hagan -- la transformation z vers x, les termes de correction -- est structurellement identique. Vous remplacez chaque occurrence de Fᵝ par γ(F) et chaque occurrence de l'intégrale du backbone par sa valeur numérique. Le développement reste valide au même ordre.
Pourquoi c'est important : Le développement asymptotique est rapide. Pour chaque paire (K, T), vous évaluez une intégrale (numériquement), l'insérez dans la même formule à la Hagan, et obtenez une vol implicite. Ni EDP, ni Monte Carlo. C'est ce qui rend ZABR pratique : la vitesse d'une formule asymptotique avec la flexibilité d'un backbone sur mesure.
Limites de précision : Le développement de Hagan n'est qu'au premier ordre en T. Pour les options à longue échéance, il peut être imprécis. C'est la même limite que pour SABR lui-même -- le développement vaut pour les échéances courtes à moyennes. Pour les échéances longues, il faut un solveur d'EDP ou du Monte Carlo, que vous utilisiez SABR ou ZABR.
Alternative : approche par EDP. Au lieu du développement asymptotique, vous pouvez résoudre directement l'EDP de valorisation ZABR. C'est plus précis mais plus lent. Certaines implémentations utilisent le développement asymptotique comme première estimation, puis affinent avec une correction par EDP.
ZABR en pratique
ZABR est un outil de spécialiste. Il est utilisé par les desks de taux en environnement de taux négatifs et par les desks d'exotiques lorsque l'inadéquation du backbone cause des erreurs de couverture. Il est moins répandu que le SABR décalé, plus simple et souvent suffisant.
Marchés de taux : les principaux utilisateurs. Quand les taux sont devenus négatifs en EUR et JPY, les desks avaient besoin de modèles capables de gérer F < 0. Le SABR décalé (avec γ(F) = (F + d)ᵝ) était la solution rapide. Le ZABR complet avec backbone sur mesure était la solution haut de gamme pour les desks nécessitant un ajustement plus précis des ailes.
Valorisation d'exotiques : les produits dépendants du chemin (caps CMS, range accruals) sont sensibles à la forme du backbone car le payoff dépend de la façon dont le forward traverse différents niveaux. Un backbone erroné signifie une dynamique erronée, donc des prix d'exotiques erronés même si le smile vanille est bien ajusté. ZABR y répond en laissant le backbone correspondre à la dynamique empirique.
Calibration : ajuster γ(F) aux données de marché est plus difficile qu'ajuster β seul. Avec SABR, vous optimisez sur quatre paramètres. Avec ZABR, vous optimisez sur les paramètres de γ (qui peut être une spline avec de nombreux nœuds) plus α, ν, et ρ. C'est un problème de plus grande dimension, qui exige plus de données et une régularisation plus soignée.
Quand ne pas utiliser ZABR :
1. Quand SABR calibre bien. Une complexité supplémentaire sans valeur ajoutée n'est qu'un risque supplémentaire. Si les résidus SABR sont faibles et sans structure, restez simple.
2. Quand vous n'avez pas assez de données pour contraindre le backbone. Un γ flexible avec des données éparses conduit au surajustement. Il faut suffisamment de strikes liquides sur le smile pour justifier les degrés de liberté supplémentaires.
3. Pour les surfaces de volatilité crypto. Les desks crypto utilisent généralement SVI/SSVI pour l'ajustement statique et n'ont pas besoin de la dynamique de backbone qu'offre ZABR. Les formes de smile sont mieux traitées par des paramétrisations directes que par la modification d'un backbone de vol stochastique.
Black-Scholes (γ = F, pas de vol stochastique) → SABR (γ = Fᵝ, vol stochastique) → ZABR (γ = fonction générale, vol stochastique). Chaque étape ajoute flexibilité et complexité. Utilisez le modèle le plus simple qui s'ajuste à votre marché et répond à vos besoins de couverture.
Pour aller plus loin :
Modèle SABR -- le fondement que ZABR généralise
Diffusion déplacée -- l'approche par décalage la plus simple
Vol locale stochastique -- une approche alternative de la flexibilité du backbone
Modèle de Heston -- vol stochastique avec un processus de variance différent