Variance Gamma à partir de zéro
1/5Le temps lui-même est aléatoire
Variance Gamma part d'une idée radicale : au lieu d'ajouter des sauts à la diffusion, rendre le temps lui-même stochastique. Le mouvement brownien tourne sur une horloge aléatoire.
Le mouvement brownien ordinaire utilise le temps calendaire : une seconde par seconde, implacablement uniforme. VG postule que le marché possède sa propre horloge interne — un processus gamma G(t) — qui tantôt s'emballe, tantôt se traîne. Quand l'horloge accélère, le mouvement brownien reçoit plus de « temps effectif » et fait de grands mouvements. Quand l'horloge tourne au ralenti, le prix bouge à peine.
Résultat : les queues épaisses émergent naturellement de l'aléa de l'horloge, sans spécifier explicitement une distribution de taille de sauts. Les périodes d'horloge rapide créent des grappes de grands mouvements. Les périodes lentes créent un calme étrange. Cela correspond à ce à quoi ressemblent réellement les carnets d'ordres crypto peu profonds — de longues périodes sans rien, puis de soudaines rafales d'activité.
G(t) — processus gamma de taux moyen 1 et de taux de variance ν. C'est l'horloge aléatoire.
θ — dérive à l'intérieur de l'horloge (crée le skew).
σ — vol de diffusion à l'intérieur de l'horloge.
Ci-dessous, le panneau supérieur montre le processus gamma G(t) — l'horloge aléatoire. La ligne en pointillés représente le temps calendaire (la diagonale droite). Quand G(t) passe au-dessus de la diagonale, le temps s'accélère. Le panneau inférieur montre le processus VG résultant — le mouvement brownien évalué au temps aléatoire G(t).
Augmentez ν pour rendre l'horloge plus erratique. Observez comment le processus VG devient plus sauvage — mouvements plus amples, plus de regroupements. C'est le mécanisme des queues épaisses.
Pensez à un film à vitesse de lecture variable. Certaines scènes défilent au ralenti (marché calme). D'autres en accéléré (ventes de panique, cascades de liquidations). Le film sous-jacent est un mouvement brownien ordinaire. Le contrôle de vitesse est le processus gamma. Ce que le public voit — le processus VG — intègre tout le drame de ces changements de vitesse.
Les trois paramètres
VG offre l'interprétation des paramètres la plus limpide de tous les modèles de smile. Chaque paramètre correspond à exactement un moment statistique. Aucune redondance, aucun casse-tête de corrélation.
σ (sigma) — vol de diffusion. La volatilité du mouvement brownien à l'intérieur de l'horloge aléatoire. Contrôle le niveau global du smile. Un σ plus élevé relève tout. C'est l'analogue de la vol Black-Scholes.
θ (theta) — dérive du MB subordonné. Contrôle le skew. Si θ < 0, le processus dérive vers le bas à l'intérieur de l'horloge aléatoire, et le smile s'incline — aile des puts plus raide que celle des calls. Si θ = 0, le smile est symétrique.
ν (nu) — variance du temps gamma. Contrôle l'excès de kurtosis (épaisseur des queues). Un ν plus élevé rend l'horloge plus aléatoire, ce qui crée des queues plus épaisses et des ailes plus raides des deux côtés. C'est le paramètre qui distingue VG de Black-Scholes.
Trois expériences :
1. Set θ = 0, ν = 0.01. Smile presque plat — proche de Black-Scholes. L'horloge est quasi déterministe.
2. Set θ = −0.15, ν = 0.20. Skew négatif avec kurtosis modérée. Forme de smile crypto classique.
3. Set θ = 0, ν = 0.50. Symétrique mais kurtosis extrême. Les deux ailes s'envolent. « Régime cygne noir ».
σ → variance (2e moment). θ → asymétrie (3e moment). ν → excès de kurtosis (4e moment). C'est la séparation la plus nette de la forme du smile parmi tous les modèles à sauts ou à vol stochastique. Heston a 5 paramètres corrélés entre eux. VG a 3 commandes orthogonales.
C'est en réalité un processus de purs sauts
Bien qu'il ressemble à un mouvement brownien à changement de temps (lisse + étiré), les trajectoires VG sont techniquement à sauts purs. Chaque mouvement est un saut. Il n'y a aucune composante de diffusion continue en temps calendaire.
C'est philosophiquement différent de Merton. Chez Merton, le prix évolue en douceur la plupart du temps (diffusion), avec de grands sauts occasionnels. Dans VG, tout mouvement est discontinu. Le processus est à activité infinie (une infinité de sauts dans tout intervalle) mais à variation finie (la taille totale des sauts est bornée).
La plupart de ces sauts sont minuscules. Quelques-uns sont grands. À la limite d'une multitude de sauts minuscules, la trajectoire semble presque continue — elle est bien approchée par une courbe lisse. Mais zoomez suffisamment et chaque mouvement est techniquement un saut. Aucun couple de prix adjacents n'est relié par un chemin continu.
Le panneau de gauche montre une trajectoire VG tracée en fonction en escalier — chaque pas de temps est un saut distinct. Le panneau de droite montre une trajectoire de Merton avec diffusion lisse entre de rares grands sauts (barres rouges). Cliquez sur Régénérer et comparez :
VG : de petits sauts constants, parfois de grands. Aucune section lisse. La trajectoire oscille partout.
Merton : de longues portions lisses interrompues par des sauts verticaux soudains. Deux régimes clairement distincts (calme vs choc).
Dans un monde à sauts purs, la couverture en delta est imparfaite par construction — vous ne pouvez pas trader en continu puisque le prix lui-même est discontinu. C'est en fait plus honnête que Merton, qui prétend que vous pouvez couvrir parfaitement la partie diffusive et que seuls les rares sauts sont non couvrables. Dans les carnets d'ordres crypto peu profonds, chaque exécution est effectivement un saut. VG assume cette réalité.
La fonction caractéristique
VG possède une fonction caractéristique propre et sous forme fermée. C'est ce qui rend la valorisation par Fourier praticable — vous pouvez valoriser des options européennes rapidement et exactement, sans Monte Carlo.
σ intervient via le terme u² (contribution en variance).
θ intervient via le terme iu (skew via la partie imaginaire).
ν intervient via l'exposant −T/ν et dans la base (kurtosis).
When ν → 0: the exponent → −∞, et la FC converge vers la FC log-normale de BS. VG contient BS comme cas limite.
Le flux de valorisation : prenez cette FC, insérez-la dans la formule de Carr-Madan (1999) ou la méthode COS, et appliquez une transformée de Fourier rapide. Vous obtenez les prix des options sur tous les strikes en une seule passe — pas de calcul par strike, pas de bruit de simulation.
L'exposant −T/ν est négatif et devient plus négatif à mesure que T croît. La FC décroît donc plus vite pour les maturités longues, ce qui correspond à l'aplatissement du smile VG avec le temps. L'aléa de l'horloge se moyenne sur les horizons longs — un effet naturel de structure par terme.
VG en pratique
VG n'est pas le choix par défaut de l'industrie — Bates (Heston + sauts) domine les desks actions et crypto. Mais l'idée de subordination de VG apparaît partout, et le modèle possède des niches spécifiques.
Dérivés de crédit : VG était à l'origine populaire dans la modélisation du crédit. Le défaut est un événement de saut. La nature de purs sauts de VG gère proprement les payoffs discontinus. Madan, Carr et Chang (1998) ont introduit VG en partie en pensant au crédit.
Exotiques actions avec exigences de smile simples : Quand vous avez besoin d'un ajustement de smile à 3 paramètres avec une interprétation claire des moments, VG est difficile à battre. La calibration est rapide car chaque paramètre a un effet sans ambiguïté.
Crypto sur paires peu liquides : les paires crypto illiquides ne diffusent pas de manière régulière — elles sautent d'un prix à un autre au fur et à mesure que les ordres sont exécutés. Le caractère de purs sauts de VG est une description plus honnête de cette dynamique de prix que n'importe quel modèle de diffusion.
L'idée de subordination : le concept consistant à remplacer le temps calendaire par une horloge aléatoire est fondateur. On le retrouve dans les horloges stochastiques, les modèles de temps d'affaires, les modèles fondés sur l'activité et CGMY (une généralisation de VG). Même si vous ne valorisez jamais une option VG, comprendre les changements de temps rend tous les autres modèles plus clairs.
Black-Scholes : smile plat. Trajectoires continues. 1 paramètre.
Merton : smile issu de rares grands sauts. Diffusion lisse + sauts de Poisson. 4 paramètres.
Kou : smile issu de sauts asymétriques. Contrôle indépendant des ailes. 5 paramètres.
Variance Gamma : smile issu d'une horloge aléatoire. Sauts purs, sans diffusion. 3 paramètres, un par moment.
Heston : smile issu de la vol stochastique. Trajectoires continues. 5 paramètres.
Bates : Heston + sauts de Merton. Le cheval de bataille. 8 paramètres.
Pour aller plus loin :
Diffusion à sauts de Merton — diffusion + rares grands sauts
Diffusion à sauts de Kou — sauts asymétriques avec ailes indépendantes
Modèle de Heston — vol stochastique, l'autre approche des smiles
Modèle de Bates — Heston + sauts : le cheval de bataille de l'industrie