Variance Gamma
Variance Gamma (VG) : aucune diffusion du tout. Les prix ne bougent pas de manière fluide entre les sauts -- chaque mouvement est un saut. Les sauts se produisent sur une horloge aléatoire. Le temps s'écoule vite pendant les périodes de forte activité et lentement pendant les périodes calmes. Cette horloge aléatoire produit des queues épaisses sans avoir besoin d'une « distribution de la taille des sauts » comme Merton. La surface de volatilité résultante peut correspondre simultanément au skew et à l'aplatissement du marché réel.
Trois paramètres contrôlent tout : la volatilité (sigma), le skew (thêta), l'aplatissement (nu).
L'idée de l'horloge aléatoire
Le marché possède sa propre horloge interne qui tourne à une vitesse aléatoire. Jours actifs : l'horloge tourne vite, les prix bougent beaucoup. Jours calmes : l'horloge bouge à peine. VG = Black-Scholes sur une horloge aléatoire. Les queues épaisses et un smile naturel en découlent, sans aucune hypothèse sur les krachs ou la taille des sauts.
Explorer les paramètres
Essayez d'abord « Queues fines » pour voir un comportement proche de Black-Scholes. Ensuite, augmentez nu (aplatissement) pour observer les ailes se soulever.
Explorateur du smile Variance Gamma
Essayez « Queues fines » pour voir un Black-Scholes quasi plat, puis augmentez ν pour voir les ailes monter sous l'effet de l'excès de kurtosis.
Ce que fait chaque paramètre
- Sigma (volatilité) : La volatilité de base lorsque l'horloge tourne à vitesse normale. C'est le niveau global -- comme la volatilité ATM.
- Thêta (skew) : La dérive du processus. Un thêta négatif signifie que le marché a tendance à baisser plus qu'à monter sur un pas de temps donné. Cela crée un skew put -- l'aile gauche est plus raide que la droite.
- Nu (aplatissement) : Contrôle à quel point l'horloge est « aléatoire ». Nu faible = l'horloge tourne régulièrement (queues fines, proche de Black-Scholes). Nu élevé = l'horloge est très erratique (queues épaisses, ailes raides). Les options OTM deviennent nettement plus chères.
Pourquoi à sauts purs ?
Black-Scholes et même Merton supposent une composante de diffusion continue -- les prix bougent de manière fluide la plupart du temps, avec des sauts occasionnels. VG affirme : peut-être que tout mouvement de prix est discontinu. Au niveau du tick, les prix sautent d'un niveau à l'autre. Aucune trajectoire fluide entre les transactions. La couverture en delta est imparfaite par construction -- vous ne pouvez pas répliquer le payoff de manière continue.
Une bonne description du fonctionnement réel des marchés crypto -- en particulier sur les paires à faible liquidité où le carnet d'ordres est mince et où les prix sautent d'un niveau à l'autre.
Trois paramètres, trois moments
VG est élégant parce que chaque paramètre correspond directement à une propriété statistique des rendements. Sigma contrôle la variance (deuxième moment), thêta contrôle l'asymétrie (troisième moment) et nu contrôle l'excès d'aplatissement (quatrième moment). Aucune redondance, aucun casse-tête de corrélation entre paramètres.
VG comparé aux autres modèles
VG en pratique
VG est moins courant que Heston ou SABR sur les desks traditionnels, mais il a une niche dans la crypto et le crédit :
Un paramètre par moment
Chaque paramètre VG contrôle exactement une propriété statistique des rendements. La séparation la plus nette entre skew et épaisseur des queues de tous les modèles de smile. L'exposition en véga sous VG diffère de Black-Scholes car le smile de volatilité implicite n'est pas plat. Si vous voulez plus que Black-Scholes mais n'avez pas besoin de la complexité de Heston ou SLV, VG convient.
Explorateur d'équations
Convertissez entre volatilité implicite, variance totale, log-moneyness et prix d'options.
Explorateur d'équations
💡 Conseil : Essayez de répondre à chaque question vous-même avant de révéler la réponse.
Construire une intuition mathématique
Apprendre Variance Gamma à partir de zéroLeçon interactive · aucun prérequisCette leçon enseigne Variance Gamma à travers le modèle mental de l'horloge aléatoire, puis montre comment thêta, sigma et nu contrôlent le skew, la taille ordinaire des mouvements et l'épaisseur des queues.
Voir aussi :
- Black-Scholes -- La référence à diffusion pure
- Merton Jump-Diffusion -- Diffusion plus sauts
- Modèle de Heston -- Volatilité stochastique (basée sur la diffusion)
- Méthodes d'interpolation -- Tous les modèles comparés