Vanna-Volga à partir de zéro
1/5Trois options liquides suffisent à tout valoriser
Vanna-Volga utilise exactement trois cotations de marché pour construire un smile complet. Le put 25Δ, le straddle ATM et le call 25Δ . C'est là l'ensemble des données d'entrée. Tout le reste en est dérivé.
Sur les marchés de change, les dealers ne cotent pas les prix d'options par strike. Ils cotent trois nombres :
ATM vol (σATM). La volatilité du straddle à la monnaie. Elle fixe le niveau global du smile.
25Δ risk reversal (RR). La différence entre la vol du call 25 delta et celle du put 25 delta. Elle capture le skew -- l'inclinaison du smile.
25Δ butterfly (BF). La moyenne des vols du put et du call 25 delta moins la vol ATM. Elle capture la courbure -- de combien les deux ailes s'élèvent au-dessus de l'ATM.
À partir de ces trois nombres, on peut retrouver les vols individuelles :
La méthode Vanna-Volga prend ces trois points de référence liquides et construit un smile complet en se demandant : quel est le moyen le moins coûteux de couvrir le risque de smile de n'importe quelle option cible avec ces trois instruments ?
Voyez ATM, RR et BF comme trois boutons d'une table de mixage. ATM est le volume général. RR est la balance (gauche vs droite). BF est l'amplification (des deux côtés). Trois boutons, un smile.
Que sont le vanna et le volga ?
Le vanna et le volga sont les deux grecques de second ordre dont Black-Scholes fait comme si elles n'existaient pas. Elles mesurent la sensibilité au risque de smile -- l'effet croisé entre spot et vol (vanna) et la convexité en vol (volga).
Vanna = ∂²V / ∂S∂σ. C'est la sensibilité du delta aux variations de vol, ou de manière équivalente, la sensibilité du véga aux variations du spot. Quand la vol bouge, le delta se déplace. Quand le spot bouge, le véga se déplace. Ces deux effets sont le vanna.
Le vanna est maximal près de l'ATM et est antisymétrique autour du forward. Pour les puts (aile gauche), le vanna est positif : quand la vol monte, le delta du put devient plus négatif (davantage dans la monnaie en termes de probabilité). Pour les calls (aile droite), le vanna est négatif.
Volga = ∂²V / ∂σ². C'est le gamma de vol -- la convexité du prix de l'option par rapport à la vol. Une option avec un volga positif profite d'un mouvement de vol dans les deux sens.
Le volga est maximal dans les ailes et est symétrique autour du forward. Les puts très OTM et les calls très OTM ont tous deux un volga fortement positif. Les options ATM ont un volga quasi nul.
Le graphique ci-dessus montre les deux profils selon les strikes. Black-Scholes suppose un smile plat et valorise donc l'exposition au vanna et au volga à coût nul. Mais sur un marché réel avec un smile, détenir une exposition vanna et volga n'est pas gratuit -- cela a un coût, et ce coût est exactement l'ajustement de smile que Vanna-Volga calcule.
Le delta et le gamma sont des effets de premier ordre que Black-Scholes gère. Le véga est une sensibilité à la vol de premier ordre que BS gère aussi (même si le modèle suppose la vol constante, il a quand même un véga). Les effets de vol de second ordre -- comment le delta varie avec la vol (vanna) et comment le véga varie avec la vol (volga) -- sont précisément ce que le smile encode. Un smile n'est rien d'autre que la valorisation par le marché du risque de vanna et de volga.
L'argument de réplication
Voici l'idée clé : construire un portefeuille des trois options de référence liquides qui reproduit le vanna et le volga de l'option cible. Le coût de ce portefeuille de couverture -- au-delà de sa valeur Black-Scholes -- est la correction de smile.
Partez d'une option cible à un strike K arbitraire. Calculez son vanna et son volga sous Black-Scholes (avec la vol ATM). Trouvez ensuite des poids (x₁, x₂, x₃) sur les trois options de référence tels que :
Une fois les poids obtenus, le prix VV est :
Faites glisser le strike cible dans le widget ci-dessus. Observez comment les poids de réplication évoluent :
Cible proche du put 25Δ : Presque tout le poids va sur la référence put. Les références ATM et call contribuent peu.
Cible proche de l'ATM : La référence ATM domine. La correction est faible car BS est presque exact à l'ATM.
Cible entre les références : Les poids s'interpolent en douceur. Le smile à n'importe quel strike intermédiaire est une combinaison pondérée des trois points de référence.
La formule
Quand on explicite les poids de réplication, la correction VV se sépare proprement en deux termes : une correction vanna qui crée le skew et une correction volga qui crée la courbure.
Terme volga : proportionnel au butterfly. Symétrique -- s'ajoute également aux deux ailes.
Cette décomposition est la raison pour laquelle la méthode s'appelle Vanna-Volga. Toute la correction de smile s'explique par deux effets :
La correction vanna est antisymétrique autour de l'ATM. Elle est pilotée par la cotation du risk reversal. Quand le marché cote un RR fortement négatif (puts plus chers que les calls), la correction vanna incline le smile vers la gauche. Pour les puts très OTM, la correction est maximale et positive (ajoute de la prime). Pour les calls très OTM, elle est négative (retire de la prime).
La correction volga est symétrique autour de l'ATM. Elle est pilotée par la cotation du butterfly. Quand le marché cote un BF élevé, la correction volga soulève les deux ailes. L'ATM n'est pas affecté (le volga y est quasi nul). Plus on s'éloigne dans les ailes, plus la correction est grande.
Le graphique en barres empilées ci-dessus montre les deux corrections selon les strikes. Remarquez :
Les barres bleues (vanna) sont négatives à gauche et positives à droite -- c'est la composante de skew.
Les barres orange (volga) sont positives partout dans les ailes -- c'est la composante de courbure.
La ligne verte est la correction totale. Côté put, vanna et volga se renforcent (les deux ajoutent de la prime). Côté call, ils se compensent partiellement (le vanna retranche, le volga ajoute). C'est pourquoi les ailes put sont typiquement plus pentues que les ailes call.
Les desks FX l'adorent, les desks actions non
Vanna-Volga est le modèle de smile dominant sur le marché des changes parce que le marché FX cote littéralement ATM, RR et BF. Les entrées du modèle sont la langue maternelle du marché. Sur les actions et la crypto, le marché cote directement les strikes, et l'hypothèse à trois points de VV est trop rigide.
Pourquoi le FX l'adore : Le marché interbancaire des options de change s'est standardisé sur des conventions de cotation qui correspondent directement aux entrées de Vanna-Volga. Un dealer voit ATM = 8.2, RR = -1.3, BF = 0.4 et dispose immédiatement des trois vols nécessaires pour VV. Pas d'étape de calibration. Pas d'optimiseur. Juste de l'algèbre.
Pour les vanilles FX aux deltas standards, VV est rapide, précis et sans arbitrage. Pour les exotiques de première génération (one-touch, double no-touch), VV donne des prix approximatifs remarquablement proches des résultats des modèles complets.
Pourquoi les actions/la crypto non : Les options listées sur actions et crypto fournissent une grille complète de prix sur de nombreux strikes et échéances. Vous avez bien plus de trois points de données. Ajuster un modèle à trois paramètres sur trente strikes gaspille de l'information.
Pire, le smile VV n'est pas assez flexible pour reproduire les formes réellement observées sur les marchés actions et crypto. Skews courts très pentus, convexité des ailes variant avec l'échéance, structure par terme du butterfly -- rien de tout cela n'est capturé par trois nombres.
Sur ces marchés, SVI, SSVI ou SLV sont de meilleurs choix car ils peuvent absorber toute la richesse de la surface observée.
Même sur les desks qui n'utilisent pas VV pour la valorisation en production, la méthode est précieuse comme modèle mental. « Cette option coûte plus que BS à cause du vanna et du volga » est une explication complète de l'existence des smiles. La décomposition en skew (vanna) et courbure (volga) aide les traders à raisonner sur ce qui détermine le prix de toute option -- même quand la valorisation réelle utilise un modèle plus sophistiqué.
Extensions : La méthode VV de base utilise des références 25 delta. Certains desks l'étendent à cinq points (en ajoutant le put et le call 10 delta) pour mieux capturer le comportement des ailes. D'autres utilisent un « VV de second ordre » incluant des grecques d'ordre supérieur. Mais à ce stade, vous construisez un modèle plus compliqué et autant utiliser SVI.
En crypto : Le cadre VV sert parfois pour un calcul mental rapide -- « combien devrait coûter ce put OTM étant donné les RR et BF du marché ? » -- mais ce n'est pas un modèle de production. Les surfaces de volatilité crypto sont trop bruitées et trop pentues pour une interpolation à trois points. La valeur est conceptuelle, pas opérationnelle.
Pour aller plus loin :
Black-Scholes -- le modèle de référence que VV ajuste
Référence des grecques -- traitement complet du vanna, du volga et des autres sensibilités de second ordre
Paramétrisation SVI -- l'alternative par strikes pour les smiles actions/crypto
Vol locale stochastique -- le modèle de production pour la valorisation des exotiques