SVI à partir de zéro

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Section 1

Qu'est-ce que le SVI ?

SVI signifie Stochastic Volatility Inspired. C'est une formule à 5 paramètres qui décrit la forme d'un smile de volatilité pour une échéance donnée.

La plupart des modèles de smile travaillent dans l'espace des volatilités implicites. Le SVI est différent : il paramétrise la variance implicite totale en fonction de la log-moneyness. Cela peut sembler un détour, mais il s'avère que cela rend les contraintes d'arbitrage extrêmement simples.

La formule est :

Variance totale SVI

w(k) = a + b(ρ(k − m) + √((k − m)² + σ²))

w(k) is total implied variance = σ_imp² · T. k = ln(K/F) is log-moneyness. Five parameters: a, b, ρ, m, σ.

Déplacez les curseurs ci-dessous pour voir comment la courbe de variance totale évolue. L'axe des x est la log-moneyness (négatif = puts OTM, positif = calls OTM). L'axe des y est la variance implicite totale.

Variance totale w(k)

a (level)0.040

Overall variance level — shifts the entire curve up or down

b (angle)0.250

Wing steepness — higher b means steeper wings

ρ (rotation)-0.40

Skew direction — negative = put skew, positive = call skew

m (translation)0.00

Horizontal shift of the smile minimum

σ (smoothing)0.200

Roundness at ATM — small = sharp V, large = smooth U

Pourquoi la « variance totale » ?

Black-Scholes utilise la volatilité implicite (σ_imp). Mais la vol dépend à la fois de la forme du smile et du temps jusqu'à l'échéance. La variance totale w = σ_imp² · T factorise le temps, laissant une quantité qui croît de façon monotone avec la maturité. Cette monotonie est exactement ce qu'il faut pour garantir l'absence d'arbitrage calendaire.

Section 2

Les 5 paramètres

Chaque paramètre contrôle un aspect géométrique du smile. Parcourez-les un par un et observez ce qui change.

La ligne en pointillés est la référence (un smile typique avec skew de put). La ligne colorée pleine montre ce qui se passe quand vous déplacez le paramètre en surbrillance. Tout le reste reste fixe.

a -- overall variance level

Shifts the entire curve up or down uniformly. Higher a means higher implied volatility everywhere. Think of it as a baseline variance that applies to all strikes.

a (level)0.040

Par défaut : 0.040Pointillés = courbe de base

Comportement des ailes : loin de l'ATM, le smile tend vers des droites. La pente de l'aile put est b(1 − ρ) et celle de l'aile call est b(1 + ρ). Avec un skew de put typique (ρ < 0), l'aile gauche est plus raide.

Pentes asymptotiques

Put wing: b(1 − ρ)     Call wing: b(1 + ρ)

Ces ailes linéaires et bornées sont l'un des principaux avantages du SVI. Le smile n'extrapole jamais vers des valeurs absurdes.

Section 3

De la variance à la vol

Le SVI vous donne la variance totale w(k). Le smile d'IV familier n'est qu'à une racine carrée de distance.

De la variance à l'IV

σ_BS(k) = √(w(k) / T)

Divisez la variance totale par le temps jusqu'à l'échéance, puis prenez la racine carrée. Cela donne la volatilité implicite à chaque strike.

Ci-dessous, les deux courbes sont générées à partir des mêmes paramètres SVI. Le panneau de gauche montre la variance totale (l'espace dans lequel le SVI travaille). Le panneau de droite montre le smile de volatilité implicite (l'espace dans lequel les traders raisonnent). Déplacez les curseurs et observez les deux se mettre à jour simultanément.

Variance totale w(k)

Vol. implicite (%)

a (level)0.040

Overall variance level — shifts the entire curve up or down

b (angle)0.250

Wing steepness — higher b means steeper wings

ρ (rotation)-0.40

Skew direction — negative = put skew, positive = call skew

m (translation)0.00

Horizontal shift of the smile minimum

σ (smoothing)0.200

Roundness at ATM — small = sharp V, large = smooth U

Remarquez que la courbe de variance est plus lisse et plus « en V » que la courbe de vol. La racine carrée comprime les grandes valeurs et étire les petites, donnant au smile de vol un aspect plus arrondi.

Pourquoi c'est important en pratique : lors de l'ajustement du SVI, vous optimisez dans l'espace des variances (là où vit la formule), mais vous évaluez la qualité de l'ajustement en regardant les résidus en IV (là où les traders cotent).

Section 4

Contraintes d'absence d'arbitrage

Toutes les combinaisons de paramètres SVI ne sont pas valides. Certaines créent des smiles qui violent les conditions d'absence d'arbitrage. Utilisez le widget ci-dessous pour trouver la frontière.

Il existe trois contraintes clés. Lorsque l'une d'elles est violée, une opportunité de profit sans risque existe — ce qui signifie que le smile ne peut pas être le vrai prix de marché du risque.

Contrainte butterfly

b(1 + |ρ|) ≤ 4/T

Empêche une variance locale négative. Si elle est violée, les butterfly spreads ont un coût négatif — de l'argent gratuit.

Minimum non négatif

a + bσ√(1 − ρ²) ≥ 0

Le minimum du smile doit être au-dessus de zéro. Une variance totale négative n'est pas physiquement possible.

Formule des moments de Roger Lee

b(1 + |ρ|) ≤ 2

Borne la vitesse de croissance des ailes. En pratique, la contrainte butterfly est plus contraignante pour les options à échéance courte.

Essayez les préréglages ci-dessous, puis déplacez les curseurs pour voir les frontières. La courbe devient rouge quand une contrainte est violée.

Butterfly: b(1+|ρ|) = 0.260 ≤ 48.7Min variance: 0.0782 ≥ 0Lee moment: b(1+|ρ|) = 0.260 ≤ 2

Pas d'arbitrage — ce smile est sûr

a (level)0.040

b (angle)0.200

ρ (rotation)-0.30

m (translation)0.00

σ (smoothing)0.200

Section 5

Calibration

À partir des volatilités implicites observées sur le marché, trouvez les 5 paramètres SVI qui les reproduisent le mieux. Essayez à la main.

Les cercles orange sont des cotations de marché synthétiques — un smile BTC réaliste à 30 jours de l'échéance. La courbe verte est l'ajustement SVI. Les lignes verticales montrent le résidu (l'erreur) en chaque point.

Ajustez les curseurs pour minimiser le RMSE. Cliquez sur « Afficher le meilleur ajustement » pour voir un jeu de paramètres quasi optimal.

RMSE44.82%(Mauvais)

Ajustement SVIDonnées de marchéRésidu

a (level)0.040

b (angle)0.150

ρ (rotation)-0.10

m (translation)0.00

σ (smoothing)0.250

En pratique : un optimiseur numérique (Levenberg-Marquardt ou SLSQP) fait cela en moins de 10 ms par échéance. L'optimiseur minimise la somme pondérée des résidus au carré tout en respectant les contraintes d'arbitrage de la Section 4.

L'initialisation compte : un mauvais point de départ peut piéger l'optimiseur dans un minimum local. Approche courante : fixer a à partir de la variance ATM, b à partir de la pente observée des ailes, ρ ≈ −0.3, m ≈ 0, σ ≈ 0.1.

Pour aller plus loin :

Page de référence SVI — tableau complet des paramètres, détails d'ajustement, variantes

ORC Wing (Jump-Wing) — le SVI reparamétré pour les traders

SSVI — étendre le SVI à la surface complète