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Modèles à volatilité stochastique

La volatilité bouge. Elle s'envole pendant les krachs, se comprime pendant les périodes calmes et revient à sa moyenne au fil du temps. Les modèles à volatilité stochastique font de la volatilité elle-même un processus aléatoire qui évolue en parallèle du prix.

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Une volatilité aléatoire produit le smile

Black-Scholes suppose une volatilité constante — pas de smile. Dès que la volatilité devient aléatoire, le smile apparaît. Chaque modèle de cette section fait exactement cela, avec des hypothèses différentes sur la manière dont la volatilité évolue.

L'arbre généalogique​

Modèle
Année
Idée clé
Utilisé en production ?
1993
La volatilité revient à sa moyenne. Dispose d’une formule de pricing (rapide).
Rarement seul
1996
Heston + sauts. Gère à la fois les dynamiques régulières et le risque de gap.
Desks exotiques
2002
La volatilité est aléatoire + skew de backbone. Prédit le mouvement du smile.
Taux, FX
2011
SABR avec un backbone flexible. S’ajuste aux formes inhabituelles.
Taux (niche)
2016
Les trajectoires de volatilité sont rugueuses (irrégulières). Explique le skew abrupt des échéances courtes.
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Ce qu'ils ont en commun​

Tous les modèles à volatilité stochastique partagent la même structure de base : le processus de prix comporte une composante de volatilité aléatoire, et cette composante suit son propre processus stochastique. Les différences résident dans la forme que prend ce processus de volatilité :

Modèle
Dynamique de la volatilité
Retour à la moyenne ?
Sauts ?
Pricing en forme fermée ?
Processus CIR (diffusion racine carrée)
Oui
Non
Oui (Fourier)
CIR + sauts de Poisson composés
Oui
Oui
Oui (Fourier)
Mouvement brownien géométrique sur la volatilité
Non
Non
Approx (Hagan)
MBG sur la volatilité + backbone personnalisé
Non
Non
Non (EDP)
Mouvement brownien fractionnaire
Non
Non
Non (Monte Carlo)

Comment choisir​

  • Vous avez juste besoin d'ajuster le smile actuel ? → Vous voulez probablement SVI, pas un modèle à volatilité stochastique.
  • Vous devez prédire comment le smile se déplace ? → SABR est la référence.
  • Vous pricez des exotiques sur toute la structure par terme ? → Bates ou SLV.
  • Vous construisez un pricer d'exotiques pour la production ? → Stochastic Local Vol (un modèle hybride) est ce que la plupart des desks utilisent.
  • Vous voulez comprendre pourquoi le skew des échéances courtes est abrupt ? → Rough Bergomi.
  • Vous apprenez les fondamentaux ? → Commencez par Heston. Tout le reste s'appuie sur lui.

Comment ils s'articulent entre eux​

Heston est le fondement. Bates ajoute des sauts à Heston. SABR prend un chemin différent — pas de retour à la moyenne, mais un backbone qui relie la volatilité au niveau du prix. ZABR généralise le backbone de SABR. Rough Bergomi remplace tout le processus de volatilité par quelque chose de plus rugueux et de mieux fondé empiriquement, mais trop lent pour la production.

En crypto, SABR est le plus important pour comprendre les dynamiques du smile et initialiser les ajustements SVI. Bates compte pour les desks exotiques qui ont besoin de sauts. Heston et Rough Bergomi sont conceptuels — ils expliquent pourquoi les smiles ont l'allure qu'ils ont.

Modèles dans cette section :

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