La volatilité locale stochastique à partir de zéro
1/5La vol locale donne les bons prix mais la mauvaise dynamique
Le modèle de volatilité locale de Dupire fait quelque chose de remarquable : il se calibre parfaitement à chaque prix d'option vanille sur le marché, simultanément. Zéro erreur de calibration. Le hic, c'est ce qui se passe ensuite.
La vol locale attribue une volatilité unique σ(S, t) à chaque niveau de spot et à chaque instant. Étant donné la surface observée des prix des vanilles, il existe exactement une fonction de vol locale qui les reproduit tous. La construction est déterministe -- pas d'optimisation, pas d'erreur résiduelle.
Alors, qu'est-ce qui ne va pas ? La dynamique. La vol locale prédit comment le smile évoluera quand le spot bouge, et cette prédiction est complètement fausse.
Quand le spot baisse de 5%, la vol locale dit que le smile devrait s'aplatir sur l'aile gauche. Le modèle lit un spot plus bas et pointe vers une autre tranche de σloc, qui se trouve être plus plate à cet endroit. Mais sur les marchés réels, c'est l'inverse qui se produit : une baisse de 5% fait se pentifier le smile, car la vol réalisée monte et la demande de protection à la baisse augmente.
La volatilité locale est une photographie parfaite du smile d'aujourd'hui. Mais les photographies ne bougent pas. Lorsque le spot se déplace, la volatilité locale prédit le nouveau smile en consultant une colonne différente de la même table statique. Le marché, pendant ce temps, a revalorisé la table entière.
Cela compte pour les exotiques. Une option à barrière dépend de l'allure du smile lorsque le spot est proche de la barrière -- pas seulement de son allure aujourd'hui. Si votre modèle prédit le mauvais smile futur, il évalue mal la barrière et la couvre mal.
La vol stochastique donne la bonne dynamique mais les mauvais prix
Heston, SABR et leurs cousins traitent la volatilité comme une variable aléatoire dotée de son propre processus stochastique. Cela produit une évolution réaliste du smile : lorsque le spot baisse, la volatilité monte et le smile s'accentue. Mais l'ajustement aux prix vanilles d'aujourd'hui est au mieux approximatif.
Un modèle comme Heston a cinq paramètres libres. Cinq nombres ne peuvent pas reproduire simultanément des centaines de prix d'options observés sur tous les strikes et toutes les échéances. L'ajustement est toujours un compromis -- correct près de la monnaie (ATM), de plus en plus mauvais dans les ailes.
On pourrait ajouter des paramètres (double Heston, Bates avec sauts) mais on ne comble jamais totalement l'écart. Il reste toujours un résidu de calibration. Pour le pricing des vanilles et la tenue de marché, ce résidu est de l'argent laissé sur la table.
Les trois panneaux ci-dessus racontent l'histoire. Après une baisse du spot de 5% :
La vol locale prédit que le smile s'aplatit -- faux.
La vol stochastique prédit que le smile s'accentue -- correct, mais notez qu'il ne correspondait pas parfaitement au smile d'aujourd'hui pour commencer.
Le SLV obtient les deux : il part d'un ajustement parfait aujourd'hui et évolue de manière réaliste.
Si vous cotez des vanilles, la vol locale gagne -- elle les évalue exactement. Si vous vous souciez du comportement de votre portefeuille quand le spot bouge, la vol stochastique gagne -- elle prédit des grecques réalistes. Pour le pricing des exotiques, il vous faut les deux. C'est là qu'intervient le SLV.
Le SLV combine les deux
La vol locale stochastique fait tourner deux moteurs en parallèle. La composante de vol locale gère la calibration. La composante stochastique ajoute une dynamique réaliste. Un ratio de mixage α contrôle le mélange.
Second line: L suit sa propre diffusion, pilotée par la vol-of-vol ν.
Special cases: lorsque ν = 0, L est déterministe et vous retrouvez la volatilité locale pure. Lorsque σloc est constant, vous retrouvez la volatilité stochastique pure. Le ratio de mélange α contrôle la part de la variance totale provenant de chaque composante.
L'intuition : σloc(S, t) est la fonction de Dupire déjà calibrée sur le marché. La multiplication par un L stochastique perturbe la dynamique sans détruire la calibration -- à condition que L soit calibré pour que la perturbation se compense en moyenne. Cette calibration de L, c'est exactement le rôle de la fonction de levier.
Le ratio de mélange α (souvent intégré au paramètre de vol-of-vol) détermine la part d'aléa qui va dans L par rapport à celle qui reste dans σloc. À un extrême (α = 0), toute la variance est expliquée par la volatilité locale et la dynamique du smile est déterministe. À l'autre extrême (α = 1), la volatilité locale est plate et le processus stochastique pilote tout.
Faites glisser le curseur ci-dessus. Observez le smile futur prédit :
α = 0 (volatilité locale pure) : Le smile futur bouge à peine par rapport à aujourd'hui. L'aile gauche s'aplatit légèrement. C'est la pathologie de la vol locale.
α = 1 (volatilité stochastique pure) : Le smile futur se pentifie fortement. La vol saute partout. C'est réaliste mais possiblement surcorrigé.
α = 0.5 (équilibré) : Un juste milieu. Le smile se pentifie, mais modérément. C'est là que se situent la plupart des calibrations en production.
La fonction de levier
L(S, t) est le ciment de la calibration. Elle est calculée pour que la volatilité locale espérée -- en moyennant sur toutes les trajectoires stochastiques -- corresponde au marché. Quand le mixage est équilibré, L reste proche de 1 partout. Quand une composante domine, L doit travailler davantage.
Formellement, L(S, t) est définie par la condition :
En pratique, L est calculée numériquement soit par une EDP forward (Fokker-Planck), soit par une méthode particulaire (Monte Carlo avec estimation de densité). L'EDP forward propage la densité jointe de (S, L) dans le temps et extrait L en chaque point de la grille. La méthode particulaire simule de nombreuses trajectoires, les regroupe par niveau de spot, et résout L dans chaque groupe.
L'idée clé : lorsque α est proche de 0.5, L est proche de 1 partout car les deux composantes se partagent la charge de manière égale. Lorsque α est proche de 0 ou 1, L développe une structure -- des pics dans les ailes, des creux près de l'ATM -- car une composante fait presque tout le travail et L doit compenser.
La carte thermique ci-dessus montre L(S, t) selon le spot et le temps. Faites glisser le curseur de mixage et observez :
Équilibré (α ≈ 0.5): Couleur sombre uniforme. L vaut environ 1 partout. Les deux composantes contribuent à parts égales. C'est le point de fonctionnement idéal.
Dominé par la volatilité locale (α ≈ 0): L développe des zones chaudes (orange/rouge) dans les ailes. La composante stochastique a peu de variance propre, donc L doit faire un gros travail pour coller au marché.
Dominé par la volatilité stochastique (α ≈ 1): L développe des zones froides (bleues). La composante stochastique dépasse la cible dans certaines régions et L doit la ramener en arrière.
Le standard du pricing des exotiques
Le SLV est ce que les grandes banques utilisent réellement pour les barrières, les asiatiques et les cliquets. C'est le standard de production car c'est le seul modèle qui se calibre simultanément sur les vanilles et produit des prix d'exotiques défendables.
Barrières. Une option knock-out disparaît quand le spot touche une barrière. Sa valeur dépend de façon critique de l'allure du smile près du niveau de barrière. La vol locale donne le mauvais smile à cet endroit. La vol stochastique donne la bonne dynamique mais les mauvais prix de départ. Le SLV donne les deux -- et le prix de barrière obtenu peut différer de la vol locale de plusieurs pourcents du notionnel.
Asiatiques. Une option asiatique moyenne le spot sur une fenêtre. Le moyennage atténue l'effet de la dynamique du smile, donc l'écart SLV vs vol locale est plus faible ici. Mais il reste non nul, et les desks qui traitent de gros notionnels y prêtent attention.
Cliquets. Des options à départ différé qui se réinitialisent périodiquement. Elles sont extrêmement sensibles au smile forward -- l'allure qu'aura le smile à chaque date de réinitialisation. L'avantage de SLV est le plus grand ici car les cliquets sont essentiellement un pari sur la dynamique du smile.
Le SLV n'est pas gratuit. La fonction de levier doit être recalculée dès que les paramètres de vol stochastique changent, ce qui rend la calibration itérative : ajuster les paramètres de vol stochastique, calculer L, vérifier l'ajustement aux vanilles, corriger, recommencer. Cette boucle externe est coûteuse en calcul et introduit un risque de modèle dans le choix de α.
Le choix du ratio de mélange est lui-même une question de jugement. Différentes valeurs de α produisent des prix d'exotiques différents tout en reproduisant les mêmes vanilles. Les banques fixent généralement α en calibrant sur des transactions exotiques liquides (barrier reversals en FX, par exemple) ou par jugement d'expert sur l'importance de la dynamique du smile pour leur book.
Risque de modèle. Le ratio de mixage est le paramètre de risque de modèle le plus important du pricing d'exotiques en production. Deux desks utilisant le SLV avec des valeurs de α différentes seront d'accord sur chaque vanille mais en désaccord sur les barrières. Ce n'est pas un bug -- cela reflète une incertitude réelle sur l'évolution du smile.
En crypto : le SLV est moins courant car le marché des exotiques est plus petit et la surface des vanilles elle-même est bruitée. La plupart des desks crypto utilisent SVI ou SSVI pour l'ajustement de surface, et la vol locale ou la simulation directe pour les produits dépendant de la trajectoire. À mesure que le marché des options crypto mûrira, le SLV deviendra plus pertinent.
Pour aller plus loin :
Local Volatility -- le modèle de Dupire en détail
Heston Model -- le moteur de vol stochastique le plus courant dans le SLV
SABR Model -- vol stochastique sans retour à la moyenne, populaire sur les taux
Vanna-Volga -- une construction de smile plus simple à partir de trois cotations de marché