SSVI à partir de zéro

1/4

Section 1

Du SVI au SSVI

SVI ajuste un seul smile de volatilité à une échéance donnée. Il le fait bien -- cinq paramètres, une forme propre. Mais une surface de volatilité empile de nombreuses échéances. Calibrer chaque tranche indépendamment crée un problème.

Lorsque vous ajustez chaque tranche avec ses propres paramètres SVI, rien ne garantit que la variance totale augmente d'une échéance à la suivante pour chaque strike. Si ce n'est pas le cas, vous avez un arbitrage de calendar spread -- un gain sans risque où vous vendez l'option à échéance courte et achetez celle à échéance longue.

SSVI résout ce problème en construisant toute la surface à partir d'une seule paramétrisation. Au lieu de 5 paramètres par tranche, la surface entière est pilotée par :

Les deux éléments clés

θ(t) = variance totale ATM à l'instant t

φ(θ) = fonction de skew ATM (contrôle la pente du smile)

θ(t) s'observe directement à partir des prix des options ATM. φ(θ) encode la variation de la forme du smile selon la maturité. Avec un seul paramètre de skew ρ, ils définissent la surface entière.

Analogie

Imaginez le SVI par tranche comme un immeuble où chaque étage a son propre architecte. Chaque étage peut être réussi, mais les escaliers entre étages risquent de ne pas s'aligner. SSVI engage un seul architecte pour tout l'immeuble -- les étages sont un peu moins personnalisés, mais tout se raccorde.

Section 2

La paramétrisation SSVI

Une formule. Trois commandes. Déplacez les curseurs ci-dessous et observez le smile se redessiner.

Variance totale SSVI

w(k, θ) = θ/2 · (1 + ρφ(θ)k + √((φ(θ)k + ρ)² + (1 − ρ²)))

k est la log-moneyness (ln(K/F)). À k=0, vous êtes à la monnaie (ATM). Un k négatif correspond aux calls dans la monnaie (puts OTM).

Jouez avec chaque paramètre pour comprendre intuitivement ce qu'il contrôle :

θ0.04

ρ-0.30

φ1.50

θ déplace le niveau global -- une variance ATM plus élevée fait monter tout le smile. ρ incline le smile -- un ρ négatif crée le skew des puts attendu par les traders. φ contrôle la largeur des ailes.

Section 3

Arbitrage de calendar spread

Tout l'intérêt de SSVI : l'absence d'arbitrage calendaire par construction. Mais seulement si φ est choisi correctement.

L'arbitrage de calendar spread signifie que la variance totale à un certain strike diminue d'une échéance courte à une échéance plus longue. Impossible dans un marché équitable -- cela vous donnerait de l'argent gratuit.

Ci-dessous, comparez un mauvais choix de φ (constant, ignore la maturité) avec la bonne forme en loi de puissance. Faites glisser le curseur du panneau de gauche et observez l'indicateur de violation.

Phi constant = 3.0Aucune violation

phi3.0

Un phi constant ignore l'échéance. Le smile reste aussi pentu à chaque échéance, ce qui peut faire diminuer la variance totale lorsque l'on passe à des échéances plus longues sur certains strikes.

Phi(theta) en loi de puissanceAucune violation

Le phi en loi de puissance décroît à mesure que theta augmente, aplatissant le smile aux échéances plus longues. La variance totale est monotone croissante dans le temps à chaque strike — pas d'arbitrage calendaire.

Le φ constant maintient un smile aussi pentu à chaque échéance. Quand θ augmente, le smile pentu pousse la variance totale aux ailes plus haut qu'elle ne devrait l'être pour les maturités courtes, mais pas assez haut pour les maturités longues -- créant des croisements.

Le φ en loi de puissance décroît quand θ augmente, aplatissant naturellement le smile aux maturités longues. Cela garantit que w(k, θ) est monotone croissante en θ pour tout k.

Section 4

La forme en loi de puissance

Deux paramètres contrôlent toute la surface. C'est la récompense de toutes les contraintes imposées par SSVI.

Phi en loi de puissance

φ(θ) = η / (θ^γ (1 + θ)^1−γ)

η > 0 contrôle l'amplitude globale du smile. γ ∈ [0, 1] contrôle la vitesse d'aplatissement du smile avec la maturité. L'absence d'arbitrage calendaire exige η(1 + |ρ|) < 2.

Déplacez les curseurs ci-dessous. Observez la carte thermique changer -- l'axe x est la log-moneyness, l'axe y l'échéance, et la couleur la volatilité implicite.

η0.50

γ0.50

ρ-0.30

Surface de volatilité implicite SSVI

Échéance (années)

1.00.530.05

-0.800.8

Log-moneyness (k)

IV

19%51%

η met à l'échelle l'amplitude du smile partout. Augmentez-le et les ailes s'élargissent sur toutes les échéances. γ modifie la vitesse d'aplatissement du smile avec la maturité. Un γ faible signifie que les smiles longs restent pentus ; un γ élevé les aplatit rapidement.

Trois paramètres (ρ, η, γ) plus la courbe de variance ATM observée θ(t). Voilà toute la surface. Comparez cela aux 25+ paramètres nécessaires pour cinq tranches de SVI par tranche.

Pour aller plus loin :

Référence SSVI -- la formule complète, des conseils de calibration et un tableau comparatif

Paramétrisation SVI -- le modèle par tranche que SSVI étend

Comment les surfaces sont construites -- le pipeline de production