Modèles simples et fondamentaux
Les briques de base. Black-Scholes : volatilité constante, pas de smile. CEV ajoute un paramètre pour obtenir du skew. Displaced Diffusion décale l'axe des prix pour gérer les taux négatifs. Trop simples pour un calibrage de smile en production, mais chaque modèle complexe étend l'un d'entre eux.
Chaque modèle complexe étend un modèle simple
SABR a besoin de CEV (son ossature). Heston a besoin de Black-Scholes (son cas particulier). Commencez ici.
En un coup d'œil
Ce qu'ils ont en commun
Ces quatre modèles décrivent un unique processus de diffusion pour le prix de l'actif sous-jacent. Aucun d'eux n'intègre de volatilité stochastique, de sauts, ni de seconde source d'aléa. Ils diffèrent par la dynamique qu'ils supposent pour le prix.
Comment ils s'articulent entre eux
Black-Scholes est la référence : volatilité constante, prix lognormal, pas de smile. CEV le généralise en faisant varier la volatilité avec le niveau de prix (sigma fois S à la puissance beta moins un), ce qui produit du skew. C'est l'ossature de SABR -- lorsque SABR définit sa composante de volatilité locale, il utilise CEV. Displaced Diffusion emprunte une autre voie : il décale l'axe des prix (on modélise S + d au lieu de S), ce qui produit également du skew et permet de gérer des taux ou des prix négatifs. Pour de petits décalages, il se comporte de manière similaire à CEV. Bachelier est la version additive de Black-Scholes : les prix suivent une distribution normale au lieu d'une distribution lognormale. Il produit un smile plat (en termes de volatilité normale) et autorise naturellement des prix négatifs, raison pour laquelle il est devenu le standard des options sur taux d'intérêt lorsque les taux sont passés en territoire négatif.
Modèles de cette section :
- Black-Scholes — Le fondement
- Modèle CEV — La volatilité varie avec le prix
- Displaced Diffusion — Lognormal décalé
- Bachelier — Dynamique normale, volatilité additive