SABR à partir de zéro
1/5SABR donne à la vol son propre processus
Dans Black-Scholes, la volatilité est une constante. Dans le monde réel, la vol bouge — et elle bouge avec le spot. SABR capture ces deux faits.
Le modèle SABR est un système de deux EDS couplées. Le prix forward F et la volatilité stochastique σ évoluent ensemble :
dσ = α·σ·dW₂
corr(dW₁, dW₂) = ρ
Quatre paramètres, chacun avec une signification de marché distincte. α est la vol de vol — elle contrôle l'intensité des fluctuations de la volatilité elle-même. β est le backbone — il détermine si le processus se comporte plutôt comme un mouvement brownien géométrique (β=1) ou un mouvement brownien arithmétique (β=0). ρ est la corrélation entre les mouvements du spot et de la vol — quand le spot baisse, la vol monte-t-elle ? (En actions/crypto, oui : ρ < 0.)
L'idée clé : la vol n'est pas seulement inconnue — elle est aléatoire et corrélée avec le sous-jacent. Cette seule idée génère des smiles réalistes sans nécessiter toute une surface de paramètres.
SABR est né dans le monde des taux (Hagan, Kumar, Lesniewski, Woodward, 2002). Tous les desks de swaptions l'utilisent pour interpoler entre les strikes cotés. La raison est simple : quatre paramètres par échéance, chacun correspond à quelque chose d'observable, et vous obtenez une formule analytique pour la vol implicite. Pas besoin de Monte Carlo pour le smile.
β contrôle le backbone
L'exposant β détermine comment la vol instantanée varie avec le niveau du forward. Il fixe le caractère du processus sous-jacent avant même que la vol de vol ou la corrélation n'entrent en jeu.
β = 1 (lognormal) : Les mouvements en pourcentage sont de taille constante. Si le BTC est à 60k, un mouvement de 1% représente $600. Si le BTC est à 30k, un mouvement de 1% représente $300. La volatilité en dollars varie avec le prix. C'est l'hypothèse GBM classique.
β = 0 (normal) : Les mouvements en dollars sont de taille constante. Que le taux soit à 2% ou 5%, l'écart-type quotidien en points de base est le même. C'est courant sur les marchés de taux.
β = 0.5 (type CIR) : Un compromis. La vol varie avec la racine carrée du prix. Populaire pour la crypto et le FX, où aucun des deux extrêmes ne convient parfaitement.
Faites glisser β ci-dessous et observez les trois smiles de référence. À β=1, le smile est relativement symétrique en log-moneyness. À β=0, le profil de skew change radicalement. Le backbone détermine comment le smile se déplace quand le spot bouge — c'est ainsi que β est lié au comportement sticky-strike vs sticky-delta.
En pratique, β est souvent fixé plutôt qu'ajusté. Les desks de taux utilisent généralement β=0.5 ou β=0. Les desks actions et crypto utilisent souvent β=1. La raison : β est difficile à dissocier de ρ dans une calibration sur une seule échéance. Fixer β et laisser les trois autres paramètres absorber le smile est la pratique standard.
L'approximation de Hagan
La raison pour laquelle SABR a conquis le trading de taux : Hagan et al. ont dérivé une approximation en forme fermée de la vol implicite Black-Scholes en fonction du strike. Pas d'EDP à résoudre, pas de simulation — juste une formule.
Les barres empilées ci-dessous décomposent la vol implicite à chaque strike en trois contributions additives. La base verte est le niveau de vol ATM (ce que vous obtiendriez avec ρ=0 et ν=0 — pur CEV). La couche orange est la correction de skew au premier ordre issue de ρ. La couche bleue est la correction de convexité issue de ν (vol de vol).
À la monnaie, les corrections de skew et de convexité sont à peu près nulles — la base domine. Dans les ailes, les corrections augmentent. Ajustez les curseurs pour voir comment chaque paramètre contrôle sa couche correspondante.
Remarquez comment les barres de skew orange changent de signe : positives d'un côté et négatives de l'autre (quand ρ ≠ 0). Les barres de convexité bleues sont toujours positives dans les ailes, ajoutant de la prime tant aux puts qu'aux calls très éloignés de la monnaie.
ρ et ν façonnent le smile
Une fois que β et α fixent le backbone et le niveau global de vol, la forme du smile est contrôlée par deux paramètres : ρ (corrélation) incline le smile, et ν (vol de vol) le courbe.
ρ est le réglage du skew. Quand ρ < 0, les baisses du spot s'accompagnent de hausses de vol — les puts deviennent plus chers que les calls. Quand ρ > 0, c'est l'inverse : les calls sont plus chers. À ρ = 0, le smile est symétrique (avec β=1 ou vu en log-moneyness).
ν est le réglage de la courbure. Une vol de vol plus élevée signifie que la vol elle-même est plus volatile, ce qui rend les deux ailes plus chères. Le smile s'élargit et le kurtosis de la distribution terminale augmente. À ν = 0, il n'y a plus de smile du tout — vous revenez à un pur modèle CEV.
Les deux panneaux ci-dessous isolent chaque effet. À gauche : fixez ν, faites glisser ρ. À droite : fixez ρ, faites glisser ν. La ligne pointillée est la référence (ρ=0 ou ν=0).
ν = 0.40: Vol de vol modérée : courbure visible dans les ailes.
Cette séparation est puissante pour l'intuition mais imparfaite en pratique. ρ et ν ne sont pas totalement orthogonaux — modifier l'un déplace la valeur optimale de l'autre lors de la calibration. Mais le modèle mental tient : ρ fait pivoter le smile, ν le gonfle.
Calibration et pièges
La calibration SABR consiste à trouver (α, ρ, ν) de sorte que le smile du modèle corresponde aux IV observées sur le marché — avec β généralement fixé. Ci-dessous, essayez d'ajuster le modèle à la main sur des données de marché synthétiques.
Les cercles orange sont les vols implicites « de marché ». La courbe verte est votre modèle SABR. Les lignes verticales montrent les résidus — l'écart entre le modèle et le marché à chaque strike. Faites glisser les curseurs pour minimiser la SSE (somme des carrés des erreurs). Une bonne calibration ramène les résidus près de zéro partout, pas seulement à l'ATM.
Quelques leçons que les praticiens apprennent vite :
L'approximation de Hagan explose dans les ailes. Pour les options très hors de la monnaie (OTM) (par exemple, des puts 10-delta sur une swaption 2Y), la formule de Hagan peut produire des vols implicites négatives ou qui explosent à des niveaux absurdes. C'est le fameux problème d'« explosion des ailes ». Les solutions incluent la formulation SABR sans arbitrage (Hagan-Lesniewski-Woodward 2014) ou des approches exactes fondées sur les EDP.
Les taux négatifs ont cassé le modèle standard. Avec β > 0, le forward F doit être positif. Quand les taux d'intérêt sont devenus négatifs (EUR, JPY, CHF), les desks sont passés au SABR décalé (shifted SABR) : appliquer le modèle à (F + décalage), où le décalage rend le forward effectif positif.
Pour la crypto, β est généralement fixé à 0.5 ou 1.0. Les surfaces de volatilité crypto présentent un skew extrême et des queues épaisses. β=1 (lognormal) est le choix le plus courant puisque les prix crypto ne peuvent pas devenir négatifs. Certains desks utilisent β=0.5 pour un meilleur ajustement dans les ailes.
SABR est un modèle par échéance, pas un modèle de surface. Chaque échéance reçoit sa propre calibration (α, ρ, ν). Le modèle ne dit rien sur l'évolution de ces paramètres d'une échéance à l'autre. Pour une cohérence de la structure par terme, il faut des contraintes supplémentaires ou un autre cadre (comme SSVI ou la vol locale-stochastique).
Pour aller plus loin :
Paramétrisation SVI — un modèle de surface avec des garanties d'absence d'arbitrage de calendar spread
Volatilité locale — une approche complémentaire : une vol déterministe qui réplique exactement toutes les vanilles
Méthodes d'interpolation — comparaison de toutes les méthodes de smile/surface