Modèle SABR

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Cette page couvre le modèle SABR en profondeur. Pour comprendre comment il s'intègre dans le pipeline de la surface de volatilité, consultez Comment les surfaces sont construites. Pour une comparaison avec d'autres méthodes, consultez Méthodes d'interpolation.

SABR (Stochastic Alpha Beta Rho) est un modèle de volatilité stochastique introduit par Hagan, Kumar, Lesniewski et Woodward (2002). Contrairement à SVI, qui décrit la forme du smile, SABR décrit les dynamiques qui le produisent. Le smile découle du modèle comme une conséquence de la façon dont la volatilité évolue en parallèle de l'actif sous-jacent.

SABR est le modèle dominant pour les swaptions de taux d'intérêt et les caps/floors. Il est moins courant en crypto, où SVI est préféré pour sa calibration plus simple et son meilleur comportement dans les ailes.

Explorer les paramètres

Ajustez chaque paramètre pour voir comment le smile SABR évolue. Activez « Show backbone » pour voir la courbe CEV seule (à quoi ressemble le smile sans vol-of-vol).

Explorateur de smile SABR

Smile typique des swaptions de taux. Skew modéré, courbure légère.

α (niveau de vol)0.30

Vol instantanée actuelle

β (backbone)0.50

0 = normal, 0.5 = racine carrée, 1 = lognormal

ρ (corr spot-vol)-0.30

Négatif = skew des puts (usuel)

ν (vol de vol)0.40

Contrôle la largeur du smile. 0 = pas de smile.

Activez « Afficher le backbone » pour voir la courbe CEV seule (sans vol de vol). L'écart entre le backbone et le smile complet est la contribution de ν.

Ce que fait chaque paramètre

• $\alpha$ (niveau de vol) : La volatilité instantanée actuelle. Un $\alpha$ plus élevé = une IV globale plus élevée. C'est le paramètre le plus fréquemment recalibré.
• $\beta$ (backbone) : Contrôle la façon dont la volatilité varie avec le prix du sous-jacent. $\beta = 1$ signifie que la vol en pourcentage est constante (lognormale). $\beta = 0$ signifie que la vol en dollars est constante (normale). $\beta = 0.5$ se situe entre les deux (racine carrée). En pratique, $\beta$ est généralement fixé selon une convention de marché, et non calibré.
• $\rho$ (corrélation spot-vol) : Contrôle le skew. Un $\rho$ négatif signifie que la vol monte quand le sous-jacent baisse (le comportement habituel sur les actions et en crypto). Un $\rho$ positif signifie l'inverse (rare).
• $\nu$ (vol of vol) : Contrôle la largeur du smile. Quand $\nu = 0$, il n'y a pas de smile, seulement le skew que produisent $\beta$ et $\rho$ (le « backbone »). À mesure que $\nu$ augmente, les deux ailes s'élèvent.

Le backbone

Cliquez sur « Show backbone » dans l'explorateur ci-dessus. La ligne en pointillés est le smile avec $\nu = 0$ : aucun aléa dans la vol, juste le modèle CEV déterministe. L'écart entre le backbone et le smile complet est la contribution de $\nu$ (vol-of-vol). Cette décomposition est propre à SABR et donne aux traders une intuition claire de l'origine de la courbure du smile.

Calibration

L'approche standard

1. Fixer $\beta$ selon une convention de marché :

   • Taux d'intérêt : $\beta = 0.5$ (courant) ou $\beta = 0$ (SABR normal)
   • Actions : $\beta = 1$ (lognormal)
   • Avec $\beta$ fixé, le modèle a 3 paramètres libres.

2. Ancrer $\alpha$ à la vol ATM. Il existe une relation quasi fermée entre $\alpha$ et la volatilité implicite ATM. Étant donné l'IV ATM observée, résolvez pour $\alpha$. Cela réduit la calibration à 2 paramètres libres.

3. Calibrer $\rho$ et $\nu$ en minimisant l'erreur pondérée entre le smile SABR et les IV observées sur les différents strikes. Avec seulement 2 paramètres, c'est rapide et robuste.

Pondération

• L'ATM reçoit le plus de poids (le plus liquide, le plus fiable)
• Les options avec des spreads bid/ask serrés reçoivent plus de poids
• Les options profondément hors de la monnaie (OTM) reçoivent moins de poids (l'approximation de Hagan y est moins précise)

Points forts

Interprétation dynamique. SABR vous dit comment le smile devrait bouger quand le sous-jacent bouge. Par défaut, SABR produit un comportement de type sticky-delta : quand le spot baisse, la vol monte (si $\rho < 0$), et le smile se déplace avec le spot. C'est précieux pour les produits où la dynamique du smile compte pour la couverture.

Décomposition en backbone. La séparation entre le backbone (skew généré par $\beta$) et le smile (courbure générée par $\nu$) donne aux traders un modèle mental clair.

Parcimonieux. Avec $\beta$ fixé et $\alpha$ ancré à l'ATM, vous ne calibrez que 2 paramètres. C'est rapide et laisse peu de place au surajustement.

Limites

Problèmes dans les ailes. L'approximation de Hagan peut produire une volatilité implicite négative ou une densité de probabilité négative dans les ailes lointaines. C'est un problème connu. Les systèmes de production utilisent des formulations corrigées (SABR sans arbitrage, ou un solveur EDP pour les strikes extrêmes).

Maturités longues. Le développement asymptotique se dégrade pour les maturités au-delà de 10 à 15 ans. Utilisez plutôt une méthode numérique.

Calibration statique, pas dynamique. Malgré l'interprétation dynamique de SABR, en pratique chaque échéance est calibrée indépendamment (exactement comme SVI). Le récit dynamique reste une aspiration plutôt qu'une réalité opérationnelle.

SABR vs SVI

	SABR	SVI
Ce qu'il modélise	Les dynamiques qui produisent le smile	La forme du smile
Paramètres	3 (avec $\beta$ fixé)	5
Arbitrage	La formule de Hagan peut être violée dans les ailes	Contraintes propres disponibles
Comportement des ailes	Peut échouer pour les strikes extrêmes	Asymptotes linéaires, bornées
Vitesse	Évaluation de formule	Optimisation
Idéal pour	Taux d'intérêt, FX	Actions, crypto

La différence clé : SABR répond à « comment le smile bouge-t-il ? » tandis que SVI répond à « à quoi le smile ressemble-t-il ? » Pour le pricing et le risque d'options européennes simples, la calibration plus simple et le meilleur comportement dans les ailes de SVI l'emportent généralement. Pour les produits où la dynamique du smile compte (swaptions bermudéennes, options à barrière sous sticky-delta), l'interprétation dynamique de SABR est précieuse.

Lien avec SVI

SABR peut initialiser les calibrations SVI. Calibrez d'abord SABR (optimisation rapide à 2 paramètres), évaluez le smile SABR sur de nombreux strikes, puis calibrez SVI sur ces points. Cela donne à SVI un bon point de départ quand les données de marché sont clairsemées.

Construire l'intuition mathématique

Apprenez SABR à partir de zéroLeçon interactive · 4 paramètres, 5 sections

La leçon interactive ci-dessus passe en revue les quatre paramètres SABR un par un : comment alpha fixe le niveau de vol, comment rho incline le skew, comment nu soulève les ailes, et comment beta contrôle la dynamique du backbone. Chaque section dispose d'un curseur dédié afin que vous puissiez isoler l'effet d'un paramètre.

Implémentations open source

Dépôt	Pourquoi l'examiner
QuantLib	Approximation de Hagan pour SABR + calibration
pysabr	Implémentation SABR en Python pur, lisible
OpenGamma Strata	SABR avec interpolation du smile en risque de production

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Voir aussi :

• Paramétrisation SVI - Le modèle utilisé par Hypercall
• Volatilité locale - La surface de vol instantanée de Dupire
• Méthodes d'interpolation - Toutes les méthodes comparées
• Comment les surfaces sont construites - Le pipeline complet