Rough Bergomi à partir de zéro
1/5La volatilité suit des trajectoires rugueuses
Lorsque les chercheurs ont mesuré le comportement de la volatilité réalisée à haute fréquence, ils ont découvert quelque chose qui met en défaut tout modèle classique : l'autocorrélation des incréments de vol décroît selon une loi de puissance, et non de manière exponentielle. Les trajectoires de vol sont bien plus déchiquetées qu'on ne le supposait.
Dans Heston, SABR ou tout modèle à diffusion, le processus de variance est piloté par un mouvement brownien standard. Le BM a un exposant de Hurst H = 0.5, ce qui signifie que ses incréments sont non corrélés. Les trajectoires obtenues sont continues mais suffisamment lisses pour être différentiables « la plupart du temps » au sens intuitif.
Gatheral, Jaisson et Rosenbaum (2018) ont mesuré la vol réalisée des indices actions et des actions individuelles. Ils ont examiné comment l'autocorrélation des incréments de log-volatilité décroît avec le décalage. Le résultat : elle décroît selon une loi de puissance, γ(k) ∼ k2H−1, with H ≈ 0,1. Pas H = 0,5. Pas H = 0,3. H est proche de zéro.
Imaginez tracer une ligne à la règle plutôt que gribouiller avec un stylo pendant que quelqu'un vous bouscule le coude. Les modèles classiques utilisent la règle. La vol rugueuse affirme que le gribouillis est plus proche de la réalité. Le stylo change constamment de direction à toutes les échelles de temps, et pas seulement à la fréquence d'un processus OU à retour à la moyenne.
Que signifie H ≈ 0,1 en pratique ? Les incréments de vol sont fortement anti-corrélés. Si la volatilité a augmenté au cours des cinq dernières minutes, elle est plus susceptible de diminuer au cours des cinq prochaines. Ce renversement constant à chaque échelle de temps est ce qui donne au chemin son aspect rugueux -- déchiqueté et fractal, comme un littoral plutôt qu'une autoroute.
Ce n'est pas un choix de modélisation. C'est un fait empirique observé sur les actions, les indices, le FX et les cryptos. L'universalité de H ≈ 0,1 est l'une des découvertes les plus frappantes de l'économétrie financière moderne.
Déplacez le curseur ci-dessus. À H = 0.5, l'autocorrélation est nulle à tous les décalages -- BM standard, sans mémoire. À mesure que vous abaissez H vers 0.1, l'autocorrélation devient fortement négative. Les incréments sont anti-corrélés. C'est cela, la rugosité.
Ce que contrôle H
H est l'exposant de Hurst. C'est l'unique nombre qui régit à quel point un processus stochastique paraît rugueux ou lisse. Tout, dans la théorie de la vol rugueuse, découle du fait que H est bien inférieur à 0.5.
H = 0.5: Mouvement brownien standard. C'est ce qu'utilise Heston. Les incréments sont non corrélés. Les chemins sont continus mais non différentiables. La rugosité "par défaut" que la finance classique suppose.
H < 0.5: Rugueux. Les incréments sont anti-corrélés. Plus H est faible, plus le chemin est rugueux. À H = 0,1, les chemins ressemblent à ceux tracés par un sismographe. Chaque oscillation vers le haut est probablement suivie d'une oscillation vers le bas, à chaque échelle de temps.
H → 0: Extrêmement rugueux. À la limite, le chemin devient si déchiqueté qu'il est à peine continu. À des fins pratiques, H ≈ 0,1 est suffisamment rugueux pour correspondre aux marchés réels.
H > 0.5: Lisse (persistant). Les incréments sont positivement corrélés. Les chemins suivent une tendance. Ce régime n'est pas pertinent pour la volatilité mais apparaît dans certains modèles d'hydrologie et de trafic réseau.
Le panneau supérieur montre trois trajectoires de variance côte à côte, à H = 0.1, 0.3 et 0.5. La différence visuelle est spectaculaire. À H = 0.5, la trajectoire serpente en douceur. À H = 0.1, elle ressemble à de la neige sur un écran de télévision -- inversions constantes, pics déchiquetés.
Utilisez le curseur du panneau inférieur pour balayer H en continu. Observez comment la trajectoire passe du lisse au rugueux à mesure que vous abaissez H. Ce n'est pas un paramètre d'un modèle particulier -- c'est une propriété mesurable des données réelles de volatilité.
Le modèle rough Bergomi
Bayer, Friz et Gatheral (2016) ont pris le constat empirique de la vol rugueuse et ont construit un modèle de pricing autour. Le processus de variance est piloté par un mouvement brownien fractionnaire au lieu d'un BM standard. Le résultat est élégant, parcimonieux et non markovien.
η (eta): vol-of-vol. Contrôle l'ampleur de l'écart de la variance par rapport à la courbe forward. Plus η est élevé = smile plus large.
WH(t): mouvement brownien fractionnaire avec exposant de Hurst H. C'est le facteur rugueux.
−½η²t2H: correction de convexité garantissant E[v(t)] = ξ₀(t). Le modèle est automatiquement calibré sur la structure par terme de la variance.
Le prix spot suit la diffusion log-normale habituelle avec la variance instantanée v(t) :
Comptez les paramètres libres : H (exposant de Hurst), η (vol-of-vol), et ρ (corrélation spot-vol). Cela fait trois paramètres au total, plus la courbe de variance forward ξ₀(t) qui est lue depuis le marché. À comparer aux cinq paramètres libres de Heston. Le modèle est plus parcimonieux.
La différence critique avec Heston : ce modèle n'est pas markovien. Dans Heston, le futur de la variance dépend uniquement du niveau actuel de la variance. Dans rough Bergomi, le futur dépend de tout l'historique du chemin. Le BM fractionnaire intègre une dépendance à longue portée. Vous ne pouvez pas résumer l'état en un seul nombre.
Basculez entre Markov et rugueux ci-dessus. Deux trajectoires de variance atteignent le même niveau à l'instant « NOW », mais elles y sont parvenues par des chemins différents. Dans Heston (markovien), leurs distributions futures sont identiques -- le modèle n'a pas de mémoire. Dans rough Bergomi, la trajectoire qui montait a un cône futur différent de celle qui descendait. L'historique est inscrit dans la dynamique.
Si vous êtes trader de vol et que vous voyez la vol réalisée à 30 jours à 45 %, vous voulez savoir : y est-elle arrivée en bondissant depuis 20 % (susceptible d'un retour à la moyenne rapide), ou en grimpant lentement depuis 40 % (susceptible de persister) ? Heston ne peut pas distinguer ces deux scénarios. Rough Bergomi le peut. L'historique de la trajectoire contient de l'information sur le futur.
Pourquoi la vol rugueuse explique les smiles à courte échéance
L'application phare de la théorie de la volatilité rugueuse : elle prédit que le skew ATM évolue comme TH−0.5. À H = 0,1, cela signifie que le skew explose pour les échéances courtes -- exactement ce que montrent les marchés crypto et actions.
Le skew ATM est la pente de la volatilité implicite en fonction du log-moneyness, évaluée à la monnaie. Tout modèle à volatilité stochastique prédit une relation spécifique entre ce skew et la maturité T :
H = 0.1 (rough): skew ∝ T−0.4. Le skew explose lorsque T → 0. Correspond aux données réelles.
C'est la conclusion clé de tout le programme de la vol rugueuse. Les modèles classiques prédisent une structure par terme du skew trop plate à l'extrémité courte. Ils peuvent reproduire le skew à 3 mois mais peinent avec le skew à 1 semaine ou à 1 jour. Les traders savent depuis des années que les smiles à courte échéance sont plus prononcés que ne le prédit Heston. La vol rugueuse en explique la raison : la rugosité du processus de variance sous-jacent contrôle directement la vitesse à laquelle le skew croît à mesure que la maturité diminue.
Le graphique ci-dessus montre les trois régimes sur une échelle logarithmique. À H = 0.1 (vert), la courbe de skew est raide -- le skew à courte échéance est bien plus grand qu'à longue échéance. À H = 0.5 (rouge, façon Heston), la courbe est quasiment plate. Les points jaunes sont des données empiriques du BTC, et ils suivent de près la courbe H = 0.1.
Ce n'est pas une coïncidence. Lorsque vous mesurez H à partir des données de volatilité réalisée du BTC, vous obtenez H ≈ 0,1. Lorsque vous regardez la structure par terme du skew impliquée par les options BTC, elle évolue comme T−0.4. La théorie et les données concordent.
Pourquoi Heston se trompe sur ce point : le processus de variance CIR de Heston est piloté par un BM standard (H = 0,5). Il ne peut pas produire une décroissance du skew en loi de puissance avec un exposant inférieur à zéro. Vous pouvez rendre le skew de Heston abrupt en augmentant σ (vol-of-vol), mais cela viole la condition de Feller et crée des problèmes numériques. Rough Bergomi obtient naturellement un skew prononcé à court terme, sans aucune contorsion de paramètres.
Défis de pricing
Rough Bergomi est théoriquement magnifique et empiriquement fondé. Mais il est coûteux à utiliser. Pas de prix en forme fermée, pas d'EDP, pas d'astuce de Fourier rapide. Uniquement Monte Carlo, et même celui-ci est lent en raison de la structure non markovienne.
Pas de fonction caractéristique sous forme fermée. La caractéristique déterminante de Heston est sa valorisation semi-analytique via l'inversion de Fourier. Rough Bergomi n'a pas cela. Le pilote fractional BM brise la structure affine qui rend la fonction caractéristique de Heston résoluble.
Monte Carlo uniquement. Pour valoriser une option vanille sous rough Bergomi, vous simulez des trajectoires du processus de variance, calculez les prix spot terminaux et faites la moyenne des payoffs. Convergence Monte Carlo standard : 1/√N. Pour obtenir un prix précis à 1 point de base, vous avez besoin d'un grand nombre de trajectoires.
Simuler le fBM est coûteux. Le BM standard est markovien : pour simuler l'étape suivante, vous n'avez besoin que de la valeur actuelle. Le fBM est non-markovien : pour simuler correctement l'étape suivante, vous avez besoin de tout l'historique de la trajectoire. Une décomposition de Cholesky naïve coûte O(N²) par trajectoire en mémoire et O(N³) en temps, où N est le nombre de pas de temps. C'est brutal pour les longues trajectoires.
Schémas hybrides. Bayer, Friz et Gatheral ont proposé un schéma hybride qui divise le noyau du fBM en une partie « proche » (calculée exactement) et une partie « lointaine » (approximée avec quelques fonctions de base). Cela réduit le coût à environ O(N · log N) par trajectoire, ce qui rend la calibration faisable mais toujours pas assez rapide pour une valorisation en temps réel sur une salle de marché.
Pas de PDE. Les modèles markoviens comme Heston peuvent être valorisés via des PDE (différences finies). Cela donne une valorisation rapide, basée sur une grille. Les modèles non-markoviens n'ont pas d'espace d'états de dimension finie, vous ne pouvez donc pas écrire une PDE. La « malédiction de la non-markovianité » est que l'état est de dimension infinie (tout l'historique de la trajectoire).
Où rough Bergomi trouve sa place en pratique :
1. Recherche et études de calibration. Les universitaires et les chercheurs quants l'utilisent pour valider l'hypothèse de rough vol et pour comparer d'autres modèles. Si votre modèle rapide (SVI, SABR) donne un skew différent de celui que prédit rough Bergomi, vous savez que quelque chose ne va pas.
2. Calibration nocturne. Certaines salles de marché exécutent la calibration de rough Bergomi la nuit comme diagnostic. Elle leur indique si leur modèle rapide de journée manque une dynamique de skew.
3. Éclairer l'intuition. Même si vous n'exécutez jamais le modèle en direct, comprendre la rough vol change votre façon de penser les options à court terme. Lorsque le skew à 1 jour semble plus prononcé que ce que prédit votre modèle, la rough vol vous indique que c'est normal -- ce sont les trajectoires de variance rugueuse du marché qui transparaissent.
4. Proxies par réseaux de neurones. Des travaux récents entraînent des réseaux de neurones à approximer les prix de rough Bergomi. Le réseau apprend hors ligne la correspondance entre paramètres et prix (en utilisant du Monte Carlo lent), puis évalue en millisecondes à l'exécution. Cela pourrait à terme rendre la rough vol utilisable en production.
Rough Bergomi se situe à l'intersection de la finance mathématique et de l'économétrie. C'est l'un des rares cas où une mesure (H ≈ 0.1) a directement dicté un modèle. La plupart des modèles sont d'abord inventés puis ajustés ensuite. La rough vol a d'abord été découverte dans les données puis formalisée ensuite. Cet ancrage empirique est la raison pour laquelle la communauté la prend au sérieux, malgré le coût computationnel.
Où aller ensuite :
Modèle de Heston -- le cheval de bataille de la vol stochastique markovienne, avec valorisation de Fourier
Paramétrisation SVI -- la norme rapide d'ajustement du smile pour les surfaces de vol crypto
Modèle SABR -- vol stochastique sans retour à la moyenne
Méthodes d'interpolation -- toutes les méthodes de construction de surface comparées