Merton Jump-Diffusion à partir de zéro
1/5Black-Scholes ne sait pas gérer les crashs
Black-Scholes suppose que le prix évolue de façon continue — petit tick par petit tick, aucune téléportation permise. C'est valable 99 % du temps. Le 1 % restant est ce qui vous ruine.
Les marchés font des gaps. Annonces de résultats, chocs géopolitiques, exploits de protocoles — le prix saute instantanément d'un niveau à un autre sans passer par les niveaux intermédiaires. Un modèle qui ne connaît que la diffusion ne peut littéralement pas attribuer de probabilité à ces événements.
La solution de Robert Merton (1976) : conserver la diffusion, mais y greffer une seconde source d'aléa — un processus de Poisson qui se déclenche à des instants aléatoires. Quand il se déclenche, le prix saute d'un montant aléatoire tiré d'une distribution lognormale.
dN — compteur de Poisson. Habituellement 0. Occasionnellement 1 (un saut se produit).
J — multiplicateur de saut. ln(J) ~ Normale(μJ, σJ²). Si J = 0.9, le prix chute de 10 % instantanément.
λ — nombre moyen de sauts par an. k = E[J − 1] — compensateur pour garder une dérive propre.
Ci-dessous, trois trajectoires de prix simulées selon le modèle de Merton. La plupart du temps, la trajectoire est une diffusion régulière. Puis une ligne verticale apparaît — c'est un saut. Augmentez λ pour voir des sauts plus fréquents, ou rendez μJ plus négatif pour observer un comportement de type krach.
Imaginez la diffusion comme une traversée de pièce à pied. Vous faites de petits pas continus. Ajoutez maintenant des trappes dans le sol. La plupart des pas sont normaux. Mais parfois, vous tombez dans une trappe et atterrissez à un endroit inattendu. C'est la composante de saut.
Trois nouveaux paramètres
En plus du σ habituel (vol de diffusion), Merton ajoute trois paramètres qui contrôlent ensemble la forme du smile de volatilité implicite. Chacun a un rôle précis.
λ (lambda) — fréquence des sauts. Nombre de sauts par an, en moyenne. Un λ plus élevé rend les sauts plus fréquents, ce qui relève les deux ailes du smile. Si λ = 0, vous êtes de retour dans le monde de Black-Scholes.
μJ (mu-J) — taille moyenne des sauts. Si négatif, les sauts sont surtout baissiers (krachs). Cela incline le smile — l'aile gauche (puts) devient plus chère que l'aile droite (calls). Si nul, les sauts sont symétriques et le smile est à peu près symétrique.
σJ (sigma-J) — volatilité de la taille des sauts. À quel point la taille des sauts est variable. Même si μJ = 0, un σJ élevé signifie que certains sauts sont énormes et d'autres minuscules. Cela ajoute de l'excès de kurtosis — des queues plus épaisses que la normale — ce qui accentue la courbure des ailes.
Manipulez les curseurs ci-dessus. Trois expériences à essayer :
1. Réglez λ = 0. Le smile devient plat — du pur BS.
2. Réglez λ = 2, μJ = −0.15,σJ = 0.05. Vous obtenez un skew baissier prononcé — le marché anticipe davantage les krachs que les rallyes.
3. Réglez μJ = 0, σJ = 0.30. Les deux ailes se relèvent symétriquement — de pures queues épaisses, sans biais directionnel.
La formule de valorisation
La formule de pricing de Merton est élégante : le prix de l'option est une somme pondérée de prix Black-Scholes, un pour chaque nombre possible de sauts. Si vous savez valoriser des calls vanilles BS, vous savez valoriser Merton.
σn² = σ² + nσJ²/τ — chaque saut supplémentaire ajoute de la variance effective.
Le poids est une probabilité de Poisson — la probabilité d'exactement n événements pendant la durée τ.
En pratique, 10–15 termes suffisent car les poids de Poisson décroissent rapidement.
La visualisation ci-dessous décompose le prix de Merton en ses six premiers termes. Le panneau de gauche affiche des barres pour chaque terme au strike choisi. Le panneau de droite montre comment les termes s'empilent sur l'ensemble des strikes — vous pouvez voir quels termes dominent à la monnaie (ATM) par rapport aux ailes.
Observation clé : le terme n=0 (zéro saut) est simplement le prix Black-Scholes ordinaire. Les termes supérieurs ajoutent progressivement de la valeur aux ailes, car les sauts augmentent la volatilité effective et rendent atteignables les strikes éloignés.
Déplacez le curseur de strike vers les ailes (K=80 ou K=120). Observez comme les termes d'ordre n élevé prennent proportionnellement plus d'importance. À la monnaie (ATM), n=0 domine. Dans les ailes, n=1 et n=2 commencent à peser lourd — c'est là que réside la prime de saut.
Le risque de saut n'est pas couvrable
Dans Black-Scholes, la couverture en delta élimine tout risque — vous rééquilibrez en continu et le risque de diffusion s'annule. Avec des sauts, cela ne fonctionne plus. Le saut se produit instantanément ; vous ne pouvez pas rééquilibrer assez vite.
Réfléchissez-y : la couverture en delta consiste à ajuster votre position sur le sous-jacent en réponse à de petites variations de prix. Mais un saut n'est pas petit — le prix se téléporte. Le temps de réagir, le dégât (ou l'aubaine) est déjà fait. Votre couverture était dimensionnée pour le prix avant le saut, pas pour le prix après.
Cela signifie que le marché de Merton est incomplet. Vous ne pouvez pas répliquer tous les payoffs avec seulement le sous-jacent et l'obligation. Le risque de saut est un facteur de risque distinct que le marché doit valoriser. C'est pourquoi les options dans le monde réel portent une prime supérieure à ce qu'impliquerait la logique BS de couverture en delta.
Cliquez sur Régénérer plusieurs fois et observez le schéma. Dans le panneau BS (à gauche), le P&L cumulé fluctue mais reste relativement contenu — la couverture fait son travail. Dans le panneau Merton (à droite), le P&L semble similaire la plupart du temps, puis une barre verticale rouge apparaît (un saut) et le P&L décroche brutalement.
Les chocs de P&L induits par les sauts sont asymétriques lorsque μJ < 0 : les sauts baissiers pénalisent le porteur de la couverture (short gamma) plus que les sauts haussiers ne l'aident. C'est la raison fondamentale pour laquelle les puts de krach portent une prime — quelqu'un doit être rémunéré pour porter ce risque de saut non couvrable.
Merton vs Heston vs la réalité
Merton excelle sur les smiles à échéance courte. Heston excelle sur les smiles à échéance longue. La réalité exige les deux — c'est pourquoi le modèle de Bates (Heston + sauts) est devenu le cheval de bataille du secteur.
Voici la distinction essentielle :
Les sauts dominent aux maturités courtes. Une option à 1 semaine est trop courte pour que la volatilité stochastique « diffuse » de manière significative. Mais un seul saut peut tout de même atteindre un strike éloigné. La composante de saut de Merton est le principal moteur des prix des ailes à court terme.
La vol stochastique domine aux maturités longues. Sur 6 mois, la vol elle-même fluctue suffisamment pour générer des queues épaisses à elle seule. Les événements de saut se « diluent » dans la moyenne — un saut sur 252 jours de bourse compte moins qu'un saut sur 5 jours de bourse.
Ailes à échéance longue → vol de vol → Heston
Les deux → Bates = Heston + sauts de Merton
Conséquence pratique : si vous calibrez Merton sur des options à 1 mois puis l'utilisez pour valoriser des options à 1 an, le smile à échéance longue sera trop plat. La composante de saut décroît en √τ, mais le smile du marché reste élevé sur les maturités longues parce que la vol elle-même est incertaine.
À l'inverse, Heston seul sous-valorise les ailes à échéance courte. Le processus de vol est trop lent pour créer la kurtosis extrême à court terme que le marché exige. Il faut des sauts pour cela.
Black-Scholes : smile plat. Pas de skew, pas d'ailes. Le référentiel le plus simple.
Merton : smile avec ailes relevées, surtout aux maturités courtes. Skew si μJ < 0. Le smile s'aplatit avec la maturité à mesure que les sauts se diluent.
Heston : smile issu de la vol de vol. Le smile persiste aux maturités longues. Génère le skew via la corrélation vol-spot (ρ).
Bates : Heston + sauts de Merton. Reproduit la structure par terme du smile des maturités courtes aux longues. Le choix standard du secteur pour les actions et la crypto.
Pour aller plus loin :
Modèle de Heston — vol stochastique, l'autre moitié du tableau
Modèle de Bates — Heston + sauts : le cheval de bataille du secteur
Modèle de Kou à sauts — sauts asymétriques avec queues double-exponentielles