Diffusion à sauts de Merton
Black-Scholes suppose que les prix évoluent de manière régulière -- pas de gaps, pas de krachs soudains. Merton (1976) ajoute des sauts. Le prix peut soudainement se téléporter vers le haut ou vers le bas, et pas seulement diffuser. Le marché ouvre en gap du jour au lendemain. Un stablecoin perd son ancrage en un seul bloc.
Les queues épaisses et les smiles prononcés sur les échéances courtes en découlent directement. Plus de risque de saut = des ailes plus pentues sur la surface de volatilité.
Pourquoi les sauts comptent pour les options
Un put OTM qui expire dans 2 jours ne vaut presque rien sous Black-Scholes -- il n'y a pas assez de temps pour que la diffusion atteigne le strike. Mais si le marché peut sauter de 15 % du jour au lendemain, ce put a une valeur réelle. Les modèles à sauts capturent ce phénomène. C'est pourquoi les smiles à échéance courte sont si pentus.
Explorer les paramètres
Commencez avec « No jumps » pour voir le Black-Scholes plat. Passez ensuite à « Crash risk » et observez l'aile des puts se pentifier.
Explorateur du smile de Merton (diffusion à sauts)
Commencez avec « Sans sauts » pour voir le Black-Scholes plat, puis passez à « Risque de krach » pour voir comment les sauts créent le skew.
Ce que fait chaque paramètre
- Lambda (intensité des sauts) : Le nombre de sauts attendus par an. Zéro = Black-Scholes. Un = environ un événement de la taille d'un krach par an. En crypto, cela peut atteindre 2-3.
- Taille moyenne du saut : La direction moyenne d'un saut. Négative = les krachs sont plus fréquents que les hausses brutales. C'est ce qui crée le skew des puts.
- Volatilité des sauts : La variabilité de chaque saut. Même si le saut moyen est nul, une forte volatilité des sauts crée des queues épaisses (les deux ailes s'élèvent).
- Vol de base (sigma) : La volatilité de diffusion normale entre les sauts. Elle fixe le niveau global.
Comment les sauts façonnent le smile
Le smile des sauts vs. le smile de la vol stochastique
Merton et Heston (vol stochastique) produisent tous deux des smiles, mais de manière différente. Cette distinction compte pour le trading.
Échéances courtes vs. échéances longues
Le modèle de Merton est surtout utile pour les options à échéance courte, où le risque de saut domine. Pour les maturités plus longues, le théorème central limite entre en jeu -- de nombreux petits sauts ressemblent à de la diffusion, et le smile dû aux sauts seuls s'estompe. La vol stochastique prend le relais sur la partie longue de la structure par terme.
Merton en crypto
La crypto est sans doute le domaine où Merton compte le plus. Les marchés cotent 24h/24 et 7j/7, mais les ruptures de liquidité sont fréquentes -- pannes d'exchanges, défaillances d'oracles, cascades de liquidations soudaines. Ce sont des sauts. Le niveau ATM peut ne pas beaucoup changer, mais les ailes se pentifient de façon spectaculaire.
Le modèle le plus simple pour valoriser le risque de gap
Merton explique pourquoi les options OTM à échéance courte sont plus chères que ce que prédit Black-Scholes. Si vous tradez des hebdomadaires ou des options crypto à échéance courte, c'est le risque de saut que vous valorisez en réalité. La couverture en delta sous Merton diffère de Black-Scholes car la composante de saut n'est pas couvrable -- seule la partie diffusion peut être répliquée. L'exposition au véga est structurellement plus élevée.
Explorateur d'équations
Convertissez entre volatilité implicite, variance totale, log-moneyness et prix d'options.
Explorateur d'équations
💡 Conseil : Essayez de répondre à chaque question vous-même avant de révéler la réponse.
Construire l'intuition mathématique
Apprendre les sauts de Merton depuis zéroLeçon interactive · aucun prérequisCette leçon part de la question simple « et si le prix pouvait se téléporter ? » puis construit toute l'intuition sur l'intensité des sauts, la taille des sauts, et la raison pour laquelle les ailes à échéance courte deviennent chères.
Voir aussi :
- Black-Scholes -- Le modèle de référence sans sauts
- Modèle de Heston -- La vol stochastique (l'autre façon d'obtenir un smile)
- Variance Gamma -- Un modèle à sauts purs, sans aucune diffusion
- Skew -- Pourquoi le smile s'incline