La volatilité locale à partir de zéro
1/5La vol implicite est une moyenne combinée
L'idée la plus importante en vol locale : la volatilité implicite que vous observez pour un strike et une échéance donnés n'est pas la volatilité en ce point. C'est une moyenne pondérée par le chemin de toutes les vols locales rencontrées en route.
Voyez cela comme un road trip. La limite de vitesse change d'une ville à l'autre (ce sont les vols locales). Votre vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet est votre vol implicite. Deux trajets se terminant à la même destination peuvent avoir des vitesses moyennes différentes parce qu'ils sont passés par des villes différentes.
Ci-dessous, chaque chemin démarre à S=100 et se termine au même prix terminal. Mais chaque chemin traverse des zones de prix différentes, chacune ayant sa propre vol locale. La vol implicite est la moyenne sur tous ces chemins.
Ajoutez d'autres chemins et observez la vol moyenne se stabiliser. Chaque chemin rencontre des vols locales différentes selon les niveaux de prix qu'il visite. Le dégradé de fond montre le paysage de vol locale — plus c'est clair, plus la vol est élevée.
Qu'est-ce que la vol locale ?
La volatilité locale est la volatilité instantanée en un point (prix, temps) spécifique. C'est un paysage : à chaque prix spot et à chaque instant, il existe une valeur de vol précise.
Le modèle dit : si le sous-jacent est au prix S à l'instant t, la vol instantanée est exactement σ(S, t). Aucun aléa dans la vol elle-même — c'est une fonction déterministe de la position du prix et du moment.
Survolez la heatmap ci-dessous pour voir la valeur de vol locale en chaque point. Remarquez le motif : vol plus élevée aux prix spot bas (côté gauche), vol plus faible aux prix spot élevés (côté droit). Cette asymétrie génère le skew de vol implicite.
La vol locale est comme une carte topographique de la vitesse du vent. À chaque (latitude, longitude), il existe une vitesse de vent précise. Un navire allant de A à B rencontre des vents différents selon sa route. La vitesse moyenne du vent sur le trajet est comme la vol implicite. La vitesse du vent en chaque point individuel est la vol locale.
Formule de Dupire
Dupire a montré que l'on peut extraire la surface de vol locale directement à partir des prix d'options observés. La formule utilise deux dérivées partielles de la fonction de prix du call.
∂²C/∂K² — la courbure des prix des calls selon les strikes. C'est la densité de probabilité du prix terminal (le butterfly). Lorsque ce terme est nul, il y a arbitrage butterfly et la vol locale est indéfinie.
La grille ci-dessous montre les prix de calls Black-Scholes calculés avec une surface de vol implicite skewée. Cliquez sur n'importe quelle cellule intérieure pour la sélectionner. Basculez entre les deux vues de dérivées pour voir quelles cellules voisines contribuent au numérateur et au dénominateur.
| T \ K | 85 | 90 | 95 | 100 | 105 | 110 | 115 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.10y | 15.60 | 11.06 | 7.30 | 5.36 | 2.28 | 0.81 | 0.26 |
| 0.25y | 17.06 | 13.16 | 10.11 | 8.50 | 5.43 | 2.97 | 1.57 |
| 0.50y | 19.57 | 16.19 | 13.57 | 12.06 | 9.70 | 6.42 | 4.22 |
| 0.75y | 21.85 | 18.75 | 16.32 | 14.82 | 13.05 | 9.63 | 6.89 |
| 1.00y | 23.93 | 21.00 | 18.68 | 17.15 | 15.63 | 12.64 | 9.52 |
Le numérateur (∂C/∂T) mesure la valeur temps supplémentaire que le marché attribue à une maturité plus longue — c'est l'information de vol forward. Le dénominateur (∂²C/∂K²) est la densité de probabilité risque-neutre. Leur rapport isole la variance instantanée en ce point (K, T).
Du smile à la surface
Le smile de vol implicite — une courbe d'IV selon les strikes — correspond à toute une surface de vol locale. Ajuster la forme du smile modifie le paysage de vol locale.
Utilisez les curseurs ci-dessous pour modifier le smile de vol implicite : son niveau de base, son skew (inclinaison) et sa courbure (convexité). Le panneau de gauche montre le smile d'IV. Le panneau de droite montre la heatmap de vol locale résultante calculée via Dupire.
Points clés à observer :
La vol locale est toujours plus extrême que la vol implicite. Parce que la vol implicite fait la moyenne sur les chemins, elle lisse les pics et creux de la vol locale. Augmentez la courbure et observez les ailes de la vol locale devenir bien plus prononcées.
Ajouter du skew décale la vol locale de façon asymétrique. Un skew négatif (typique des marchés actions/crypto) produit une vol locale plus élevée à gauche (spot bas) et plus faible à droite.
Pourquoi c'est important pour les exotiques
Pour les options vanille, la vol implicite suffit. Pour tout ce qui dépend du chemin — barrières, asiatiques, lookbacks — vous devez savoir où se situe la vol le long du chemin, pas seulement la moyenne terminale.
Un call down-and-out se comporte comme un call classique sauf si le prix touche une barrière en cours de route. La probabilité d'atteindre la barrière dépend de la vol que le prix rencontre près du niveau de la barrière. Deux surfaces de vol locale différentes peuvent produire le même prix de call vanille mais des prix de barrière radicalement différents.
C'est l'argument central en faveur de la vol locale : elle rend vos prix d'exotiques cohérents avec les vanilles. Toute option à barrière ou dépendante du chemin valorisée en vol locale est garantie de ne pas contredire les prix vanille observés. Vous obtenez un modèle unifié au lieu d'ajustements ad hoc.
La réserve : la vol locale prédit une mauvaise dynamique du smile (la vol est déterministe, donc elle ne peut pas surprendre). En pratique, les desks utilisent la vol locale stochastique (SLV) — vol locale pour la précision de calibration, plus une composante stochastique pour une dynamique réaliste.
Pour aller plus loin :
Paramétrisation SVI — le modèle utilisé pour construire la surface implicite qui alimente Dupire
Modèle SABR — une alternative à vol stochastique avec une meilleure dynamique
Méthodes d'interpolation — toutes les méthodes comparées