Volatilité locale

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Cette page couvre le modèle de volatilité locale de Dupire. Pour comprendre comment il s'intègre dans le pipeline de la surface de volatilité, voir Comment les surfaces sont construites. Pour une comparaison avec d'autres méthodes, voir Méthodes d'interpolation.

La volatilité locale est la volatilité instantanée de l'actif sous-jacent à un niveau de prix et un instant donnés. C'est la fonction $\sigma_{\text{loc}}(S, t)$ qui, lorsqu'elle est intégrée dans un modèle de diffusion, reproduit exactement tous les prix observés des options européennes.

L'idée a été développée indépendamment par Bruno Dupire (1994) et Derman & Kani (1994). C'est le seul modèle qui reproduit l'intégralité de la surface de volatilité implicite sans hypothèse supplémentaire.

Volatilité implicite vs volatilité locale

L'idée clé : la volatilité implicite est une moyenne pondérée des volatilités locales le long du chemin jusqu'à l'échéance. La volatilité locale est la volatilité instantanée, « ponctuelle ».

Volatilité implicite vs volatilité locale

Smile typique des actions/cryptos. La volatilité locale est plus élevée et plus pointue que l'implicite.

La volatilité locale (trait plein) est toujours plus pointue que la volatilité implicite (pointillés). La volatilité implicite est une moyenne pondérée des volatilités locales le long de la trajectoire.

Basculez entre les différentes formes de smile et remarquez :

• La volatilité locale est toujours plus pointue. Comme la volatilité implicite est une moyenne le long du chemin, elle lisse les extrêmes. La volatilité locale montre l'image brute, non moyennée.
• Un skew implicite plus prononcé = une volatilité locale plus marquée. Dans le cas d'un skew prononcé (crise), la volatilité locale diverge dans l'aile gauche. C'est le modèle qui dit : « Si le spot chute jusque-là, la volatilité instantanée devrait être très élevée pour correspondre aux prix observés des puts. »
• La relation est comparable à celle entre taux spot et taux forward. La volatilité implicite est le taux spot (moyenne de maintenant jusqu'à l'échéance). La volatilité locale est le taux forward (le taux instantané à un point futur).

Ce que signifie la volatilité locale

Imaginez le prix de l'actif sous-jacent évoluant à travers un paysage de volatilités. En chaque point de l'espace (prix, temps), il existe une volatilité spécifique. Au fur et à mesure que le sous-jacent se déplace, il rencontre différentes volatilités instantanées.

Une option ATM à 30 jours avec une volatilité implicite de 50 % pourrait traverser des volatilités locales allant de 40 % à 65 % le long de son chemin. La volatilité implicite de 50 % est la moyenne risque-neutre de toutes ces volatilités locales, pondérée par le temps passé à chaque niveau.

C'est pourquoi deux options avec des prix d'exercice différents peuvent avoir des volatilités implicites différentes même si elles dépendent du même processus sous-jacent : elles traversent différentes parties du paysage de volatilité locale.

Quand utiliser la volatilité locale

Valorisation d'options exotiques

Le cas d'usage principal de la volatilité locale. Le déroulement :

1. Observer les prix des options européennes (ou les volatilités implicites) sur le marché
2. Ajuster une surface de volatilité implicite sans arbitrage (en utilisant SVI, SSVI, ou similaire)
3. Dériver la surface de volatilité locale via la formule de Dupire
4. Construire un moteur de valorisation numérique (EDP par différences finies ou Monte Carlo) à partir de la surface de volatilité locale
5. Valoriser l'exotique en faisant évoluer le sous-jacent à travers le paysage de volatilité locale

La garantie : toute option exotique valorisée sous volatilité locale est cohérente avec tous les prix observés des options européennes. Le prix de votre option à barrière ne contredit pas les vanilles, ce qui est important pour la couverture.

Greeks cohérents avec la surface

Les Greeks calculés sous volatilité locale tiennent compte du fait que la volatilité change lorsque le spot bouge. Le delta sous volatilité locale diffère du delta de Black-Scholes car le modèle « sait » que passer à un niveau de spot différent signifie rencontrer une volatilité locale différente. C'est conceptuellement similaire à ce que Taleb appelle le « shadow gamma » : le changement de delta supplémentaire qui provient du changement de volatilité dû au mouvement du spot.

Le problème de la dynamique

La volatilité locale présente une faiblesse bien connue : elle prédit une dynamique de smile erronée.

Sous volatilité locale, la volatilité est une fonction déterministe du spot. Une fois que vous savez où se trouve le spot, vous connaissez exactement la volatilité. Il n'y a aucune « surprise » dans la volatilité. Cela signifie :

• Lorsque le spot chute, la volatilité locale dit que la volatilité allait toujours être aussi élevée à ce prix. Le smile s'aplatit.
• En pratique, lorsque le spot chute, la volatilité augmente souvent plus que ce que prédit la volatilité locale, et le smile se pentifie.

Le résultat : la volatilité locale sous-évalue systématiquement les options qui dépendent de la forme future du smile (options à barrière, options à départ différé, cliquets).

Volatilité locale vs autres modèles

	Volatilité locale	SVI	SABR
Ce que c'est	Volatilité instantanée à chaque (S, t)	Forme paramétrique du smile	Modèle de volatilité stochastique
Observable ?	Non (dérivée)	Non (ajustée)	Non (ajustée)
Calibration exacte	Oui (par construction)	Approximative	Approximative
Dynamique du smile	Erronée (déterministe)	Non spécifiée	Meilleure (stochastique)
Valorisation d'exotiques	Oui (usage principal)	Non	Limitée
Vitesse	Lente (EDP/MC)	Rapide	Rapide (formule)
Idéal pour	Barrières, asiatiques, exotiques	Valorisation de vanilles, risque	Swaptions, vanilles FX

Lien avec d'autres modèles

De la volatilité implicite à la volatilité locale : la formule de Dupire. Nécessite une surface implicite sans arbitrage en entrée.

De la volatilité locale à la volatilité implicite : exécuter une EDP forward sous la surface de volatilité locale, valoriser des européennes, inverser pour obtenir les volatilités implicites. Cet aller-retour est exact par construction.

SABR et volatilité locale : le paramètre $\beta$ de SABR contrôle la colonne vertébrale de la volatilité locale ($\sigma_{\text{loc}} \sim F^\beta$), tandis que $\nu$ ajoute une couche stochastique par-dessus. SABR peut être vu comme une approximation paramétrique de la volatilité locale avec une dynamique supplémentaire.

SVI et volatilité locale : SVI vous donne la surface implicite. Dupire vous donne ensuite la volatilité locale. La chaîne : cotations du marché -> ajustement SVI -> surface implicite -> Dupire -> volatilité locale -> valorisateur d'exotiques.

Construire l'intuition mathématique

Apprenez la volatilité locale à partir de zéroLeçon interactive · couvre la formule de Dupire

La leçon interactive ci-dessus couvre le modèle de volatilité locale de Dupire à partir des premiers principes : pourquoi la volatilité implicite est une moyenne pondérée par le chemin des volatilités locales, comment la formule de Dupire extrait la volatilité locale des prix observés, la relation entre le smile de volatilité implicite et la surface de volatilité locale, et pourquoi la volatilité locale est importante pour la valorisation d'exotiques dépendantes du chemin.

Implémentations open source

Dépôt	Pourquoi l'examiner
QuantLib	Volatilité locale de Dupire avec moteur de valorisation par différences finies
OpenGamma Strata	Construction de surface de volatilité locale à partir de données de marché
RustQuant	Valorisation en volatilité locale en Rust

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Voir aussi :

• Paramétrisation SVI - Le modèle utilisé pour construire la surface implicite
• Modèle SABR - Une alternative en volatilité stochastique
• Méthodes d'interpolation - Toutes les méthodes comparées
• Comment les surfaces sont construites - Le pipeline complet