La diffusion à sauts de Kou à partir de zéro
1/5Les sauts de Merton sont trop symétriques
Merton utilise des sauts lognormaux. La distribution de la taille des sauts est une unique courbe en cloche, centrée quelque part. Les sauts à la hausse et à la baisse proviennent de la même famille. C'est un problème.
Les krachs réels sont plus brutaux que les rallyes. Un depeg de stablecoin ne ressemble pas à l'image inversée d'un short squeeze. Le gap de -20% se produit en un seul bloc. Le rallye de +20% prend une semaine. Il vous faut un modèle où la queue gauche et la queue droite sont contrôlées séparément.
Kou (2002) corrige cela en remplaçant la distribution log-normale des sauts par une double exponentielle. Les sauts vers le haut décroissent à un certain taux. Les sauts vers le bas décroissent à un taux différent. Deux boutons distincts pour deux queues distinctes.
In Merton: ln(J) ~ Normal(μJ, σJ²).
Chez Kou : la taille du saut Y = ln(J) suit une double exponentielle avec des taux de décroissance distincts pour les valeurs positives et négatives.
La conséquence pratique : dans Merton, lorsque vous accentuez l'aile gauche du smile (en rendant μJ plus négatif), vous entraînez aussi l'aile droite. La distribution normale est symétrique autour de sa moyenne. Kou découple entièrement les ailes.
La double exponentielle
La taille du saut Y a une densité constituée de deux moitiés exponentielles raccordées en zéro. Chaque moitié décroît à son propre rythme. C'est l'innovation centrale.
f(y) = (1−p)·η₂·eη₂y for y < 0 (down-jumps)
η₂ contrôle la décroissance des sauts vers le bas. Un petit η₂ signifie que les sauts vers le bas peuvent être grands (queue gauche épaisse). Saut moyen vers le bas = 1/η₂.
p est la probabilité qu'un saut donné soit vers le haut.
Faites glisser les paramètres ci-dessous et observez la densité changer. L'expérience clé : réglez η₁ bien plus grand que η₂. La queue droite (sauts vers le haut) devient fine et concentrée près de zéro, tandis que la queue gauche (sauts vers le bas) s'étend loin. C'est la forme du risque de krach.
Trois expériences à essayer :
1. Réglez η₁ = η₂ = 5, p = 0.5. La densité est symétrique. Les deux queues sont identiques. Cela équivaut en esprit à Merton avec un saut de moyenne nulle.
2. Réglez η₁ = 10, η₂ = 2, p = 0.3. Queue gauche épaisse, queue droite fine, la plupart des sauts vont vers le bas. Régime de krach classique.
3. Poussez p vers 0,9. La plupart des sauts vont vers le haut, mais les sauts vers le bas qui se produisent restent régis indépendamment par η₂ .
Pourquoi les sauts asymétriques importent
Le ratio de η₁ à η₂ et le paramètre p contrôlent ensemble le skew du smile de volatilité implicite. Surtout, ils contrôlent chaque aile de manière indépendante.
Considérez un token crypto. Un crash de dépeg est brutal et profond — cela signifie un petit η₂ (queue de gauche épaisse). L'évolution normale des prix à la hausse est progressive — cela signifie un grand η₁ (queue de droite fine). Le smile qui en résulte présente une aile put abrupte et une aile call douce. Exactement ce que vous observez sur le marché.
Dans l'explorateur ci-dessous, observez comment le fait de modifier η₂ seul rend l'aile de gauche plus abrupte sans déplacer l'aile de droite. Essayez ensuite de modifier η₁ — cela rend l'aile de droite plus abrupte de manière indépendante. C'est l'avantage pratique de Kou : vous ajustez chaque aile au marché séparément.
Pourquoi p compte pour le skew : si p = 0,3 (la plupart des sauts sont à la baisse), l'aile de gauche gonfle parce que les puts OTM font face à un flux constant de risque de saut à la baisse. L'aile de droite est plus calme — moins de sauts y atterrissent.
Pourquoi le ratio η compte pour le skew : même avec p = 0,5 (probabilité de saut égale), si η₂ est bien plus petit que η₁, les sauts à la baisse sont en moyenne bien plus grands. Cela relève l'aile put parce que le même nombre de sauts à la baisse couvre plus de terrain par saut.
L'avantage de la forme fermée
La distribution exponentielle possède une propriété particulière : elle est sans mémoire. Si vous savez qu'un saut dépasse une certaine barrière x, le dépassement (saut − x) a exactement la même distribution qu'un nouveau saut. C'est ce qui donne à Kou des prix de barrière en forme fermée.
Réfléchissez à ce dont une option à barrière a besoin : vous devez connaître la distribution de l'endroit où le prix atterrit après avoir franchi la barrière. Avec des sauts gaussiens (Merton), la distribution du dépassement est un désordre — elle dépend de la distance parcourue au-delà de la barrière. Avec des sauts exponentiels, le dépassement est sans mémoire : la distribution conditionnelle sachant que vous avez franchi la barrière est la même que la distribution inconditionnelle. Cela rend les calculs traitables.
Le résultat : Kou (2004) a dérivé des solutions en forme fermée pour les barrières knock-in/knock-out, les options lookback et les américaines perpétuelles. Merton n'a pas de telles formules. Si vous valorisez des exotiques et avez besoin de grecques analytiques, Kou l'emporte.
Le panneau de gauche montre la densité exponentielle complète avec un seuil x marqué. La zone ombrée est la probabilité de dépasser x. Le panneau de droite montre la densité conditionnelle de l'excès (Y − x), given Y > x. Faites glisser le seuil : la densité conditionnelle a toujours la même forme que l'originale. C'est la propriété sans mémoire.
Déplacez η et remarquez que les deux panneaux se redimensionnent de manière identique. La forme de l'excès ne dépend jamais de l'endroit où vous placez le seuil. Pour le pricing de barrière, cela signifie que la distribution du dépassement à la barrière est connue analytiquement — aucune simulation nécessaire.
Kou vs Merton vs Heston
Chaque modèle a un rôle. Comprendre où se situe Kou par rapport à Merton et Heston est la dernière pièce.
Kou : sauts asymétriques, contrôle indépendant des ailes, exotiques en forme fermée. Idéal pour les marchés présentant une asymétrie de crash prononcée (crypto, action mono-sous-jacent) et lorsque vous avez besoin de prix analytiques de barrière ou de lookback.
Merton : plus simple, sauts symétriques. Moins de paramètres. Suffisant lorsque le smile est à peu près symétrique ou lorsque vous ne pricez que des vanilles. Le point de départ de l'industrie pour les modèles à sauts.
Heston : vol stochastique, pas de sauts. Génère le skew via la corrélation vol-spot (ρ). Domine aux échéances longues où la vol-of-vol pilote la structure par terme. Ne peut pas produire l'abruptité des ailes à court terme que les sauts créent.
Le graphique ci-dessus superpose les smiles Kou et Merton avec la même variance de saut totale. Les deux modèles ajoutent la même quantité de risque de saut au global, mais Kou en alloue davantage à la queue de gauche. Remarquez comme l'aile de gauche de Kou est plus épaisse (aile put plus abrupte) tandis que son aile de droite est plus fine. Merton répartit le risque plus uniformément.
Black-Scholes : smile plat. Pas de skew, pas d'ailes.
Merton : smile avec ailes. Une distribution des sauts symétrique signifie que les deux ailes bougent ensemble. Adapté aux vanilles à courte échéance.
Kou : smile avec ailes indépendantes. Distribution des sauts asymétrique. Barrières et lookbacks en forme fermée. Meilleure adéquation crypto.
Heston : smile issu de la vol stochastique. Persiste aux longues échéances. Pas de sauts, donc les ailes à courte échéance sont trop plates.
Bates : Heston + sauts de Merton. Le cheval de bataille. Pour les applications les plus exigeantes, remplacez la composante de sauts de Merton par des sauts à double exponentielle de type Kou.
Où aller ensuite :
Saut-diffusion de Merton — le prédécesseur à sauts symétriques
Variance Gamma — un modèle à sauts purs sans aucune diffusion
Modèle de Heston — vol stochastique, sans sauts
Modèle de Bates — Heston + sauts : le cheval de bataille de l'industrie