Diffusion à sauts double-exponentielle de Kou

Merton modélise les sauts avec une seule distribution normale -- les sauts haussiers et baissiers ont la même forme. C'est faux. Les krachs sont plus brutaux que les rallyes. Un gap de -20 % se produit en quelques minutes ; un rallye de +20 % prend des semaines. Kou (2002) corrige cela en donnant aux sauts haussiers et baissiers des tailles différentes.

Le mécanisme : des distributions exponentielles au lieu de la normale. Les sauts baissiers reçoivent une exponentielle (généralement avec une moyenne plus grande), les sauts haussiers en reçoivent une autre (généralement avec une moyenne plus petite). Vous pouvez pentifier l'aile des puts sans toucher à l'aile des calls, et inversement.

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Chaque aile a son propre paramètre

Dans Merton, pentifier l'aile des puts (via un saut moyen négatif) affecte aussi l'aile des calls. Dans Kou, chaque aile est indépendante. La taille du saut baissier pentifie l'aile des puts. La taille du saut haussier pentifie l'aile des calls. Cela correspond aux smiles crypto.

Explorez les paramètres

Activez « Show Merton equiv » pour voir comment un modèle symétrique (Merton) se compare aux ailes asymétriques de Kou. Essayez le préréglage « Crypto crashes » pour voir l'aile des puts pentue avec une aile des calls douce.

Explorateur du smile double-exponentiel de Kou

Les sauts baissiers dominent : 70% des sauts sont à la baisse et 4x plus grands que les sauts haussiers. Aile put très pentue.

Fréquence des sauts2.00

Sauts attendus par an. 0 = plat (BS).

Probabilité de saut haussier0.30

Fraction des sauts vers le haut. Faible = biais de krach.

Taille du saut haussier0.05

Ampleur moyenne du saut haussier (ex. 0.08 = 8%)

Taille du saut baissier0.20

Ampleur moyenne du saut baissier (ex. 0.15 = 15%)

Activez « Afficher équiv. Merton » pour comparer les sauts asymétriques (Kou) et symétriques (Merton). Remarquez comment Kou peut accentuer la pente d'une aile indépendamment.

Ce que fait chaque paramètre

• Fréquence des sauts (lambda) : nombre de sauts par an. Zéro = Black-Scholes (smile plat). Un lambda plus élevé soulève les deux ailes, car tout saut -- haussier ou baissier -- rend les options OTM plus précieuses.
• Probabilité de saut haussier (p) : la fraction des sauts qui vont vers le haut. Un p faible signifie que la plupart des sauts sont des krachs. Cela déplace l'équilibre du skew.
• Taille du saut haussier : ampleur moyenne des gaps vers le haut. Plus grande = aile des calls plus pentue.
• Taille du saut baissier : ampleur moyenne des gaps vers le bas. Plus grande = aile des puts plus pentue. En crypto, elle est typiquement 2 à 4 fois plus grande que la taille du saut haussier.

Comment Kou façonne les ailes

Changement de paramètre

Effet sur l'aile des puts

Effet sur l'aile des calls

Intuition

Augmenter la taille du saut baissier

Se pentifie

Changement minime

Krachs plus grands = protection en puts plus chère

Augmenter la taille du saut haussier

Changement minime

Se pentifie

Rallyes plus grands = aile des calls plus chère

Diminuer la probabilité de saut haussier

Se pentifie

S'aplatit

Plus de sauts baissiers = biais de krach

Augmenter la fréquence des sauts

Se soulève

Se soulève

Plus d'événements au total = plus de risque de queue dans les deux directions

ℹ️

Contrôle indépendant des ailes

Dans Merton, pentifier l'aile des puts via un saut moyen négatif affecte aussi l'aile des calls (la distribution normale est symétrique autour de sa moyenne). Dans Kou, la taille du saut baissier contrôle l'aile des puts et la taille du saut haussier contrôle l'aile des calls. Activez « Show Merton equiv » pour voir la différence.

Kou vs Merton

Kou

Merton

Distribution des sauts

Double exponentielle (asymétrique)

Normale (symétrique autour de la moyenne)

Indépendance des ailes

Ailes des puts et des calls contrôlées séparément

Modifier le skew affecte les deux ailes

Décroissance des queues

Queues exponentielles (plus épaisses que la normale)

Queues gaussiennes (plus fines)

Paramètres

5 (σ, λ, p, η₁, η₂)

4 (σ, λ, μ_J, σ_J)

Valorisation barrière/lookback

Forme fermée disponible

Pas de forme fermée (nécessite MC)

Adéquation crypto

Meilleure (ailes asymétriques conformes à la réalité)

Correcte (mais peine sur l'indépendance des ailes)

Pourquoi les traders crypto devraient s'y intéresser

Le risque de gap en crypto est profondément asymétrique :

Type d'événement

Taille typique

Vitesse

Paramètre de Kou

Cascade de liquidations

-10 % à -30 %

Minutes

Taille du saut baissier (grande)

Gap lié à une panne d'exchange

Dans les deux sens, -20 % à +10 %

Instantané

Les deux tailles de sauts + probabilité

Rallye d'approbation d'ETF

+5 % à +15 %

Heures

Taille du saut haussier (modérée)

Depeg de stablecoin

-5 % à -50 %

Blocs

Taille du saut baissier (très grande)

Remarquez le schéma : les mouvements baissiers sont plus rapides et plus grands que les mouvements haussiers. Merton ne peut pas capturer proprement cette asymétrie -- vous pouvez déplacer la moyenne vers le négatif, mais la symétrie de la distribution normale autour de cette moyenne déborde toujours sur l'aile des calls. La double exponentielle de Kou sépare naturellement les deux.

💡

Le modèle à sauts pour un ajustement indépendant des ailes

Kou sépare les ailes des puts et des calls. La taille du saut baissier est le paramètre de krach. La taille du saut haussier est le paramètre de rallye. Ils n'interfèrent pas. Si vous tradez les puts et les calls OTM comme des livres séparés -- et en crypto, vous devriez -- Kou correspond à cette structure.

Explorateur d'équations

Explorateur d'équations

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Vol implicite (σ)

%

La volatilité implicite

Temps jusqu'à l'échéance

jours

Jours calendaires jusqu'à l'échéance

Variance totale (w)

0.022225

Variance annualisée (σ²)

0.2704

IV recalculée (aller-retour)

52.00%

La variance totale est ce que SVI et d'autres modèles calibrent. Elle croît avec le temps : une vol de 50% sur 30 jours a moins de variance totale qu'une vol de 50% sur 90 jours.

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Testez votre compréhension avant de continuer.

Q: Quel est l'avantage clé de Kou par rapport à Merton pour ajuster les smiles de volatilité ?

Q: Pourquoi les queues exponentielles sont-elles plus réalistes que les queues gaussiennes pour les tailles de sauts en crypto ?

Q: Si vous augmentez la taille du saut baissier de 10 % à 25 %, que se passe-t-il sur l'aile des calls ?

Q: Quel avantage pratique Kou a-t-il sur Merton pour la valorisation des exotiques ?

💡 Conseil : Essayez de répondre à chaque question vous-même avant de révéler la réponse.

Construire l'intuition mathématique

Apprendre Kou depuis le débutLeçon interactive · aucun prérequis

Cette leçon explique le modèle comme deux moteurs de sauts distincts, haussier et baissier, puis développe l'intuition de la double exponentielle et explique pourquoi elle offre un contrôle des ailes plus propre que Merton.

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Voir aussi :

• Diffusion à sauts de Merton -- Le prédécesseur à sauts symétriques
• Modèle de Bates -- Combine volatilité stochastique et sauts de Merton
• Variance Gamma -- Un modèle à sauts purs sans diffusion
• Modèle de Heston -- Volatilité stochastique (l'autre façon d'obtenir un smile)
• Skew -- Pourquoi le smile s'incline
• Black-Scholes -- La référence sans sauts
• Méthodes d'interpolation -- Comparaison de toutes les méthodes