Méthodes d'interpolation pour les surfaces de volatilité

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Cette page est un complément à Comment les surfaces de volatilité sont construites. Commencez par cette page pour comprendre pourquoi l'interpolation est importante.

La surface de volatilité présente des trous. L'interpolation les comble. Le choix de la méthode détermine si la surface résultante est lisse, sans arbitrage et stable. Cette page compare les principales approches.

Méthodes d'interpolation comparées

Les points blancs sont les seules vraies cotations de marché. Tout ce qui est entre les deux est estimé. Cliquez sur chaque méthode pour voir ses forces et faiblesses.

Ce qui peut mal tourner

Avant d'examiner chaque méthode en détail, constatez les problèmes par vous-même. Les mêmes 7 observations de marché, trois méthodes d'interpolation différentes. Observez ce qui se passe dans les ailes et aux points de données.

Ce qui tourne mal : les échecs d'interpolation

Les mêmes 7 observations de marché, trois méthodes d'interpolation différentes. Observez ce qui se passe dans les ailes.

Courbes polynomiales lisses. Peuvent osciller et dépasser dans les ailes.

Les points blancs sont les seules observations réelles. Cliquez sur « Tout comparer » pour superposer les trois méthodes. Remarquez comment le spline dépasse dans l'aile gauche tandis que SVI reste borné.

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Méthodes non paramétriques

Ces méthodes ajustent des courbes passant par les points de données sans supposer de forme fonctionnelle. Elles sont rapides et simples, mais n'offrent aucune garantie structurelle.

Interpolation linéaire

Tracer des lignes droites entre les points de données adjacents.

Avantages :

• Triviale à implémenter
• Pas d'ajustement ni d'optimisation
• Déterministe : les mêmes entrées donnent toujours les mêmes sorties

Inconvénients :

• Crée des angles vifs à chaque point de données. Ces angles produisent des dérivées premières discontinues, ce qui signifie que les grecques (en particulier le gamma) sautent brutalement aux strikes observés.
• Aucune garantie contre l'arbitrage butterfly. Une ligne droite entre deux points peut passer en dessous de là où un smile convexe devrait se situer.
• L'extrapolation relève de la pure spéculation (elle prolonge simplement la pente du dernier segment).

À utiliser pour : Estimations rapides, vérifications de cohérence, débogage. Pas pour le pricing en production.

Interpolation par spline cubique

Ajuster des polynômes cubiques par morceaux entre les points de données, avec la contrainte que les dérivées premières et secondes coïncident à chaque jointure. Le résultat est une courbe lisse $C^2$ (courbure continue).

Le nom vient des splines physiques utilisées en dessin technique : des bandes de bois flexibles que les dessinateurs courbaient entre des épingles pour tracer des courbes lisses.

Avantages :

• Courbe lisse passant par tous les points de données
• Pas d'estimation de paramètres (la spline est déterminée par les données et les conditions aux limites)
• Rapide à calculer

Inconvénients :

• Phénomène de Runge : aux bords du domaine d'interpolation, le polynôme peut dépasser de façon extrême. Pour les surfaces de volatilité, cela signifie des IV dans les ailes qui explosent ou deviennent négatives.
• Oscillation : entre les points de données, la cubique peut osciller au-dessus ou en dessous de ce qu'un smile bien comporté produirait, créant des creux concaves (arbitrage butterfly).
• Sensibilité aux valeurs aberrantes : un seul mauvais point de données (cotation périmée, erreur de saisie) déforme toute la courbe, car les contraintes de lissage propagent l'erreur.
• Aucun contrôle sur le comportement en extrapolation.

À utiliser pour : Visualisation, travaux académiques, ou comme estimation initiale avant un ajustement paramétrique. Pas pour le pricing ou le risque en production.

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Méthodes paramétriques

Ces méthodes supposent une forme fonctionnelle pour le smile et ajustent ses paramètres aux données. Elles échangent l'interpolation exacte contre un contrôle structurel.

SVI (Stochastic Volatility Inspired)

Le standard de l'industrie pour les surfaces de volatilité crypto et actions. Cinq paramètres par tranche d'échéance.

$$w(k) = a + b \left( \rho(k - m) + \sqrt{(k - m)^2 + \sigma^2} \right)$$

Voir la référence complète : Paramétrisation SVI

Pourquoi il domine : SVI est le juste équilibre entre flexibilité et parcimonie. Cinq paramètres peuvent s'ajuster à presque toutes les formes de smile observées, tandis que de simples contraintes d'inégalité garantissent l'absence d'arbitrage butterfly. Les ailes tendent vers des asymptotes linéaires, donc l'extrapolation est bornée et raisonnable.

SABR (Stochastic Alpha Beta Rho)

Un modèle de volatilité stochastique qui dérive le smile à partir d'hypothèses sur l'évolution de la volatilité. Quatre paramètres : $\alpha$ (niveau de vol), $\beta$ (exposant CEV), $\rho$ (corrélation spot-vol), $\nu$ (vol de vol).

Voir la référence complète : Modèle SABR

Pourquoi il existe : SABR capture la dynamique du smile, pas seulement sa forme statique. Il vous indique comment le smile devrait se déplacer lorsque le sous-jacent bouge (sticky delta par défaut). Cela le rend naturel pour les swaptions de taux d'intérêt, où la dynamique du smile est essentielle pour la couverture.

Volatilité locale (Dupire)

Ce n'est pas une méthode d'ajustement au sens habituel. La vol locale dérive une surface de volatilité instantanée à partir de la surface de volatilité implicite observée. Elle répond à la question : « Quelle doit être la volatilité instantanée à chaque combinaison (spot, temps) pour reproduire exactement ces prix d'options ? »

Voir la référence complète : Volatilité locale

Pourquoi elle existe : La vol locale est l'unique modèle sans arbitrage qui reproduit exactement tous les prix d'options observés. C'est le pont entre la volatilité implicite et un moteur de pricing capable de gérer des payoffs dépendants du chemin.

SSVI (Surface SVI)

Une extension de SVI qui modélise la surface entière conjointement, et non tranche par tranche. SSVI garantit l'absence d'arbitrage calendaire par construction : la variance totale est garantie croissante avec la maturité à chaque strike.

$$w(k, \theta_t) = \frac{\theta_t}{2} \left( 1 + \rho \, \varphi(\theta_t) \, k + \sqrt{(\varphi(\theta_t) \, k + \rho)^2 + (1 - \rho^2)} \right)$$

Où $\theta_t$ est la variance totale ATM au temps $t$ et $\varphi(\theta_t)$ contrôle l'évolution du skew avec la maturité.

Compromis : Moins de paramètres libres que le SVI tranche par tranche (la forme du smile est liée entre les échéances), donc l'ajustement peut être légèrement moins bon sur les tranches individuelles. Mais vous n'avez jamais besoin de corrections a posteriori de l'arbitrage calendaire.

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Tableau comparatif

Méthode

Paramètres

Sans arbitrage ?

Extrapolation

Vitesse

Idéal pour

Linéaire

0

Non

Non bornée

Instantanée

Débogage

Spline cubique

~12 (implicites)

Non

Oscille

Rapide

Visualisation

SVI

5 par tranche

Oui (sous contraintes)

Linéaire bornée

Rapide

Crypto / actions

SABR

4

En général

Raisonnable

Moyenne

Taux / swaptions

Vol locale

Grille complète

Par construction

N/A (dérivée)

Lente

Pricing exotique

SSVI

~6 (surface)

Oui (calendaire aussi)

Bornée

Rapide

Cohérence de surface complète

Comment choisir

• Pour le pricing crypto/actions en production : SVI ou SSVI. L'industrie a convergé vers ces méthodes pour de bonnes raisons.
• Pour les options de taux d'intérêt : SABR. Il capture la dynamique du smile essentielle pour la couverture des swaptions.
• Pour le pricing de dérivés exotiques : Vol locale (ou un hybride vol locale-stochastique). Vous avez besoin de la surface complète, pas seulement des tranches.
• Pour une analyse rapide ou de la visualisation : La spline cubique convient tant que vous ne tradez pas sur cette base.
• Pour rien du tout : L'interpolation linéaire en production. Sérieusement.

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Explorateur d'équations

Toutes les méthodes d'interpolation travaillent avec la variance totale et le log-moneyness. Utilisez ce calculateur pour convertir entre les représentations.

Explorateur d'équations

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Vol implicite (σ)

%

La volatilité implicite

Temps jusqu'à l'échéance

jours

Jours calendaires jusqu'à l'échéance

Variance totale (w)

0.022225

Variance annualisée (σ²)

0.2704

IV recalculée (aller-retour)

52.00%

La variance totale est ce que SVI et d'autres modèles calibrent. Elle croît avec le temps : une vol de 50% sur 30 jours a moins de variance totale qu'une vol de 50% sur 90 jours.

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Voir aussi :

• Comment les surfaces de volatilité sont construites - Le pipeline complet
• Paramétrisation SVI - SVI en profondeur
• Modèle SABR - SABR en profondeur
• Volatilité locale - Dupire en profondeur