Les grecques à partir de zéro
1/6Qu'est-ce qu'une grecque ?
Le prix d'une option dépend de plusieurs paramètres : prix spot, temps, volatilité, taux. Une grecque vous indique de combien le prix de l'option varie lorsque l'un de ces paramètres change légèrement.
Si vous vous souvenez des pentes en calcul différentiel, une grecque est une dérivée partielle. Sinon, voyez-la ainsi : une grecque répond à la question « si je fais varier légèrement ce paramètre, de combien le prix de mon option réagit-il ? »
C'est tout. Chaque grecque correspond à un paramètre différent que l'on fait varier. Le delta fait varier le spot. Le thêta fait varier le temps. Le véga fait varier la volatilité. Même idée, bouton différent.
Le widget interactif ci-dessous montre la courbe du prix d'un call en fonction du spot. La tangente en chaque point a une pente. Cette pente est le delta. Chaque grecque fonctionne de la même manière, simplement selon un axe différent.
Faites glisser le curseur du spot. Observez la tangente pivoter. Très en dedans de la monnaie, la pente tend vers 1. Très hors de la monnaie, elle tend vers 0. À la monnaie (ATM), elle se situe près de 0,5. Cette pente de la tangente est le delta.
Delta
Le delta est la première grecque que tout le monde apprend, et celle que vous utilisez le plus. Pour un call, le delta varie de 0 à 1. Il répond à la question : « de combien de dollars mon option bouge-t-elle par 1 $ de variation du sous-jacent ? »
Dans Black-Scholes, le delta d'une option d'achat est simplement N(d₁) — la distribution normale cumulée évaluée en d₁. Plus l'option est profondément dans la monnaie, plus le delta est proche de 1. Plus elle est hors de la monnaie, plus il est proche de 0.
Interprétation pratique : le delta indique aussi la probabilité approximative que l'option expire dans la monnaie. Un call de delta 25 a environ 25% de chances de finir ITM. Pas exact, mais suffisant pour l'intuition.
Ratio de couverture : si vous avez vendu un call, vous devez acheter delta unités du sous-jacent pour être delta-neutre. Si le delta est de 0.50, achetez 50 unités par option. Quand le spot bouge, le delta change, et vous ajustez.
Gamma
Le gamma est le taux de variation du delta. Si le delta vous dit où vous êtes, le gamma vous dit à quelle vitesse le delta change quand le spot bouge.
Mathématiquement, le gamma est la dérivée seconde du prix de l'option par rapport au spot. En pratique, il compte parce que la couverture en delta n'est pas une opération unique. Quand le spot bouge, le delta se déplace, et vous devez vous recouvrir. Le gamma mesure de combien.
Faites glisser le curseur et observez le gamma (en bleu) culminer exactement au strike. Loin du strike, le delta change à peine — l'option bouge soit dollar pour dollar avec le spot (très ITM), soit presque pas (très OTM). Près du strike, le delta change rapidement, donc le gamma est élevé.
Pourquoi le gamma compte pour le P&L : le gamma crée la courbure de la courbe de prix. Pour un mouvement du spot de 2 $, le delta contribue Δ × $2, mais le gamma contribue en plus ½ Γ × $2². Ce terme supplémentaire est le PnL du gamma — c'est pourquoi les positions longues d'options surperforment leur couverture en delta lors de grands mouvements.
Thêta
Le thêta est l'érosion temporelle. Chaque jour qui passe, une option perd de la valeur — même si rien d'autre ne change. Le thêta vous dit combien.
Pour les positions longues en options, le thêta est négatif : vous perdez de la valeur chaque jour. Pour les positions courtes, le thêta est positif : vous encaissez un loyer. C'est l'arbitrage central des options — vous payez le thêta pour le droit de gagner du gamma sur les grands mouvements.
Schéma clé : le thêta s'accélère à l'approche de l'échéance. Une option ATM perd plus de valeur par jour durant sa dernière semaine que durant toute autre semaine précédente. La courbe s'accentue fortement — c'est pourquoi les options à courte échéance sont prisées pour encaisser le thêta, mais aussi un risque d'explosion.
Le gamma et le thêta sont les deux faces d'une même pièce. Si vous êtes long gamma (vous profitez des grands mouvements), vous payez le thêta. Si vous encaissez le thêta, vous êtes short gamma (les grands mouvements vous pénalisent). Il n'y a pas de repas gratuit.
Véga
Le véga mesure de combien le prix de l'option change lorsque la volatilité implicite varie de 1 point de pourcentage. Il est toujours positif, pour les calls comme pour les puts — plus de vol signifie des prix d'options plus élevés.
Le véga n'est en fait pas une lettre grecque (il n'existe pas de lettre « véga » dans l'alphabet grec). La convention est néanmoins restée. Certains utilisent nu (ν) à la place.
Là où le véga compte le plus : les options ATM ont le véga le plus élevé. Les options très ITM ou OTM réagissent à peine aux variations de vol — elles sont déjà dominées par la valeur intrinsèque ou par leur quasi-absence de valeur.
Usage pratique : si vous tradez un événement de vol (résultats, FOMC), vous voulez connaître votre exposition au véga. Un véga de 0,15 $ sur 10 contrats signifie qu'un écrasement de 1% de l'IV vous coûte 150 $.
Assembler le tout
En trading réel, tout bouge en même temps : le spot, le temps et la vol. Les grecques vous permettent de décomposer votre P&L — ce qui vient du delta, ce qui vient du gamma, ce que vous avez perdu en thêta, et ce que la vol a donné ou repris.
Le développement de Taylor de la variation du prix d'une option est :
Déplacez les curseurs ci-dessous. Observez la contribution de chaque grecque. La ligne « résidu » montre ce que l'approximation au premier ordre manque — petit pour les mouvements minimes, croissant pour les grands.
Ce qu'il faut remarquer : pour les petits mouvements du spot, le delta domine. Pour les grands mouvements, le gamma entre en jeu. Le thêta est stable et prévisible. Le véga est l'inconnue — il dépend entièrement de l'évolution de la vol, que vous ne pouvez pas prédire.
Cette décomposition est la façon dont les desks professionnels analysent le P&L au quotidien. La question n'est jamais seulement « ai-je gagné ou perdu de l'argent ? » mais « d'où vient le P&L ? »