Espérance de gain (EV)
L'espérance de gain répond à une seule question : si je répétais exactement ce trade des milliers de fois, est-ce que je finirais gagnant ou perdant ?
C'est le concept le plus important du trading. Pas l'analyse technique. Pas les figures chartistes. Pas la « conviction ». Tous les desks de trading rentables au monde, des teneurs de marché aux hedge funds, fonctionnent en identifiant et en répétant des trades à EV positive.
L'EV est ce que vous vous attendez à gagner (ou perdre) en moyenne par trade, calculée en multipliant chaque résultat possible par sa probabilité et en additionnant le tout.
Commençons simplement : un pile ou face
Avant les options, pensons à un pari. Quelqu'un vous propose un pile ou face :
- Face : vous gagnez 200 $
- Pile : vous perdez 100 $
Devriez-vous accepter ? Votre instinct pourrait dire « c'est du 50/50, c'est risqué ». Mais faites le calcul :
L'EV est de +50 $ par lancer. Vous devriez accepter ce pari à chaque fois qu'il vous est proposé. Vous perdrez certains lancers, mais les gains sont suffisamment importants pour plus que compenser les pertes.
Le taux de réussite et l'EV ne sont pas la même chose. Un trade qui gagne 80 % du temps peut avoir une EV négative. Un trade qui perd 60 % du temps peut avoir une EV positive. Ce qui compte, c'est combien vous gagnez par rapport à combien vous perdez, pondéré par la fréquence de chaque résultat.
La formule
Survolez chaque terme pour voir sa définition. La « perte » est négative, donc le second terme se soustrait du premier.
C'est toute la formule. Tout le reste de cette page n'est que son application.
Pourquoi le taux de réussite vous ment
C'est le piège dans lequel tombent la plupart des débutants. Regardez ces deux traders :
Trader A : 80 % de taux de réussite
Vend des puts OTM
- Gagne 80 trades sur 100
- Gain moyen : +$50
- Perte moyenne : -$400
- Total : (80 × $50) + (20 × -$400) = -$4,000
- Résultat net : A PERDU 4 000 $
Trader B : 35 % de taux de réussite
Achète des calls OTM
- Gagne 35 trades sur 100
- Gain moyen : +$600
- Perte moyenne : -$100
- Total : (35 × $600) + (65 × -$100) = +$14,500
- Résultat net : A GAGNÉ 14 500 $
Le Trader A a l'air d'un génie 80 % du temps. Le Trader B a l'air d'un perdant 65 % du temps. Mais c'est le Trader B qui gagne de l'argent. C'est pourquoi l'EV, et non le taux de réussite, est le chiffre qui compte.
La stratégie du Trader A est le classique « ramasser des pièces devant un rouleau compresseur ». Les petits gains fréquents font du bien. Mais quand la perte arrive, elle est catastrophique par rapport aux gains. Les vendeurs d'options qui ignorent l'EV tombent constamment dans ce piège.
Calculateur d'EV
Entrez vos propres chiffres. Essayez différentes combinaisons pour développer votre intuition sur l'interaction entre probabilité et taille du payoff.
Appliquer l'EV aux options
Utilisons maintenant un vrai trade d'options. Vous achetez une option d'achat (call) sur BTC pour une prime de 200 $. Vous estimez que :
- il y a 40 % de chances que le BTC monte suffisamment pour que l'option vaille 700 **)
- il y a 60 % de chances que l'option expire sans valeur (vous perdez votre prime de 200 $)
L'EV est de +80 $ par trade. Vous perdrez de l'argent sur 60 % de ces trades. Cela peut sembler terrible. Mais les 40 % gagnants rapportent suffisamment pour plus que compenser.
Sur 100 trades : 40 gains à +500 = 20 000. 60 pertes à -200 = -12 000. Profit net : 8 000 dollars.
Plus de deux résultats possibles
La plupart des trades d'options ne se résument pas à « gagner ou perdre ». Un call peut expirer profondément ITM, légèrement ITM, ou sans valeur. La formule de l'EV gère cela naturellement en ajoutant des lignes :
Même logique, plus de granularité. Le scénario profondément ITM est rare mais important, et il contribue de manière significative à l'EV totale.
Quand acheter ou vendre est-il à EV positive ?
Ni l'achat ni la vente d'options n'est intrinsèquement à EV positive ou négative. Tout dépend de savoir si le marché valorise correctement l'option.
Votre EV ne vaut que ce que valent vos estimations de probabilité
Le calcul est facile. Le plus dur, c'est d'estimer les probabilités. Les prix des options du marché intègrent déjà une distribution de probabilité consensuelle (via la volatilité implicite). Pour avoir une EV positive, vous devez croire que ce consensus est faux. Si votre estimation n'est pas meilleure que celle du marché, votre EV après frais est légèrement négative.
Voir l'EV dans le temps : la simulation de convergence
C'est ici que l'EV devient intuitive. Le graphique ci-dessous simule 200 trades avec les probabilités et payoffs que vous définissez. La ligne bleue est votre P&L cumulé réel (aléatoire). La ligne verte en pointillés est là où l'EV dit que vous devriez finir.
Cliquez plusieurs fois sur Re-shuffle. Remarquez comme la ligne bleue erre aléatoirement mais finit toujours près de la projection d'EV en pointillés. C'est la loi des grands nombres à l'œuvre.
Essayez maintenant ces expériences :
La variance n'est pas la même chose qu'une EV négative
Une stratégie à EV positive peut perdre de l'argent pendant 20, 50, voire 100 trades d'affilée par pur hasard. Cela ne veut pas dire que la stratégie est cassée. Cela veut dire que l'échantillon est trop petit. C'est pourquoi les traders professionnels s'intéressent au volume : il leur faut suffisamment de trades pour que les mathématiques fassent leur travail. Si votre stratégie ne produit que 5 trades par mois, il peut falloir des années avant de pouvoir distinguer la compétence de la chance.
Pourquoi votre courbe de P&L vous ment
Il existe un résultat contre-intuitif de la théorie des probabilités appelé loi de l'arcsinus (décrite pour la première fois par Paul Lévy ; Taleb l'applique au P&L de trading dans Dynamic Hedging, chapitre 3). Dans un jeu équitable (EV = 0), on s'attendrait à passer environ la moitié de l'année en profit et l'autre moitié en perte. C'est faux. Le résultat le plus probable est de passer presque toute l'année d'un seul côté : soit 11 mois en profit et 1 en perte, soit 11 mois en perte et 1 en profit. Passer exactement 6 mois de chaque côté est le résultat le moins probable.
Probabilité du temps passé en profit (jeu équitable, 1 an)
Cela signifie qu'un trader qui a été rentable pendant 10 mois consécutifs n'est pas nécessairement compétent. Un trader qui a perdu pendant 10 mois consécutifs n'est pas nécessairement incompétent. Les courbes de P&L cumulé sur de courtes périodes sont profondément trompeuses. Le seul signal fiable est un grand nombre de trades indépendants, et c'est pourquoi le graphique de convergence ci-dessus en utilise 200.
Les historiques de performance sont surtout du bruit
Si vous mettez une infinité de singes devant des écrans de trading, l'un d'eux produira un historique de 10 ans digne de Warren Buffett. Cela ne veut pas dire que ce singe a un avantage. Le ratio chance/compétence dans un historique diminue avec la fréquence des transactions : pour un teneur de marché qui fait des milliers de trades par jour, une année de rentabilité est une preuve solide d'avantage. Pour un gérant de fonds qui fait 10 trades par an, même une décennie de profits pourrait relever du hasard. Demandez-vous toujours : combien de paris indépendants cet historique représente-t-il ?
Ce cadrage vient de l'application par Taleb du lemme de Borel-Cantelli aux historiques de traders (Dynamic Hedging, chapitre 3). Le résultat mathématique original prouve qu'avec suffisamment d'essais, même des événements extrêmement improbables deviennent certains.
Qu'est-ce que l'« edge » ?
L'edge (avantage) est ce qui rend votre EV positive. Sans avantage, votre EV sur n'importe quel trade est nulle ou légèrement négative (après frais). Avoir un avantage signifie que vous savez quelque chose que le prix du marché ne reflète pas entièrement.
Un vrai avantage
D'où vient une EV positive
- De meilleures estimations de volatilité (vous pensez que la volatilité réalisée différera de l'IV)
- Une information plus rapide (vous réagissez aux données on-chain ou aux actualités avant que les prix ne s'ajustent)
- Des avantages structurels (financement moins cher, marge plus efficiente, capacité à porter du risque)
- La tenue de marché (vous capturez le spread bid/ask sur chaque trade)
Ce qui n'est pas un avantage
Ce que les gens prennent pour un avantage
- « Je suis convaincu que le BTC va monter » (la conviction n'est pas de l'analyse)
- « Cette stratégie back-testée a rapporté 300 % » (surajustement aux données historiques)
- « Les options expirent généralement sans valeur » (la prime intègre déjà ce fait)
- « Je suis le portefeuille d'une baleine » (au moment où vous le voyez, tout le monde le voit aussi)
Pièges courants de l'EV
Penser en EV
Le changement le plus important qu'un trader puisse opérer est de passer du jugement des trades par leur résultat au jugement des trades par leur processus.
Penser en résultats
Comment les débutants évaluent
- « Ce trade a perdu de l'argent, donc c'était un mauvais trade »
- « J'ai gagné de l'argent, donc ma stratégie fonctionne »
- « Je devrais arrêter de vendre des puts, je me suis brûlé le mois dernier »
- Juge la décision d'après le résultat
Penser en EV
Comment les professionnels évaluent
- « Ce trade avait une EV positive. La perte relevait de la variance attendue. »
- « J'ai gagné de l'argent, mais le trade avait-il vraiment une EV positive ou ai-je eu de la chance ? »
- « La vente de put avait une EV positive. Je continuerai à vendre, mais avec une taille plus petite. »
- Juge la décision d'après le processus
L'EV dans différents domaines
💡 Conseil : Essayez de répondre à chaque question vous-même avant de révéler la réponse.
Voir aussi :
- Payoff vs P&L - La différence entre ce que vous recevez et ce que vous gardez
- Volatilité implicite - Le mouvement attendu par le marché, et le principal paramètre de l'EV des options
- Stratégies de base - Les trades d'options simples et quand ils ont une EV positive
- Couverture en delta - Isoler l'exposition à la vol pour capturer l'EV d'une vol mal valorisée
- Bêta & Alpha - L'alpha est une EV positive persistante après prise en compte de l'exposition au marché
- Erreurs courantes - Les pièges qui détruisent l'EV