La diffusion déplacée à partir de zéro
1/5Déplacez l'origine, obtenez un smile
Black-Scholes suppose que le prix spot diffuse de façon lognormale depuis son niveau actuel. La diffusion déplacée change une seule chose : elle déplace l'origine. La diffusion reste lognormale, mais l'axe sur lequel elle vit a bougé.
L'EDS est on ne peut plus simple :
C'est tout le modèle. Un paramètre supplémentaire, d, ajouté au BS standard. Le coefficient de diffusion est proportionnel à (S + d) au lieu de S seul. Ce décalage brise la symétrie du smile lognormal et crée du skew.
Pourquoi déplacer l'origine produit-il du skew ? Parce que la volatilité en pourcentage de la variable décalée est σ, mais la volatilité en pourcentage de S lui-même varie avec le niveau. Quand S est bas, S + d est relativement grand par rapport à S, donc la vol effective en pourcentage est plus élevée. Quand S est élevé, le déplacement d compte moins, et vous vous rapprochez du cas BS.
Imaginez que vous mesurez depuis un autre point zéro. Au lieu de mesurer depuis 0, vous mesurez depuis −d. Le sous-jacent n'a pas changé, mais l'instrument de mesure, si. Ce changement de référentiel suffit à produire un smile incliné.
Le paramètre de déplacement
Le déplacement d est le seul bouton de réglage dont vous disposez. Il contrôle la direction et l'amplitude du skew. Comprendre ce qu'il fait, c'est comprendre tout le modèle.
d > 0 (déplacement positif) : L'origine se déplace vers la droite. Pour un σ donné, les prix bas voient une vol effective plus élevée (car S + d est grand par rapport à S), tandis que les prix élevés en voient une plus faible. Résultat : la courbe de volatilité implicite descend de gauche à droite. C'est un skew négatif -- la même direction que les marchés actions et crypto.
d < 0 (déplacement négatif) : L'origine se déplace vers la gauche. Désormais, les prix élevés voient proportionnellement plus de vol. Résultat : skew positif. C'est rare mais cela peut modéliser des marchés où la vol monte avec le prix (certaines matières premières, par exemple).
d = 0 : Aucun décalage. Vous êtes de retour dans Black-Scholes. Smile plat.
Faites glisser le curseur ci-dessus. Remarquez comment le smile s'incline progressivement à mesure que vous augmentez d. Il n'y a pas de courbure dans le smile de la diffusion déplacée -- il est presque linéaire dans les ailes. C'est la limite fondamentale : la DD peut produire une inclinaison mais pas la forme en U observée sur les marchés réels.
Diffusion déplacée = Black-Scholes décalé
Voici l'intuition opérationnelle qui rend la DD si utile : vous n'avez pas besoin d'une nouvelle formule de valorisation. Vous utilisez Black-Scholes standard avec des entrées décalées. Remplacez S par (S + d) et K par (K + d). C'est fait.
La logique est simple. Définissez S̃ = S + d. L'EDS devient alors dS̃ = σ·S̃·dW, qui n'est qu'un mouvement brownien géométrique pour la variable décalée. Le BS standard s'applique à S̃ avec le prix d'exercice K̃ = K + d.
C'est pourquoi la DD a été adoptée si vite par les desks de taux à l'époque des taux négatifs. Ils n'avaient pas besoin de nouveau logiciel. Ils ont ajouté un décalage à leurs entrées et gardé toute leur infrastructure Black-Scholes en fonctionnement. Le décalage était généralement calibré une fois par jour à partir de la vol ATM et d'un point supplémentaire.
Les grecques se décalent aussi. Le delta est le delta BS de l'option décalée. Le gamma est le gamma BS. Le véga est le véga BS. La seule subtilité : il faut ramener les sensibilités aux coordonnées d'origine (non décalées) lors du calcul des couvertures.
Lien avec CEV et SABR
La diffusion déplacée est la version linéarisée du modèle CEV. SABR avec β = 1 et un paramètre de décalage est approximativement une diffusion déplacée. Comprendre ce lien vous indique exactement où se situe la DD dans la hiérarchie des modèles.
CEV (élasticité constante de la variance) utilise dS = σ·Sᵝ·dW où β est l'élasticité. Lorsque β = 1, c'est BS. Lorsque β < 1, la vol est plus élevée pour un S faible et plus faible pour un S élevé -- le même comportement qualitatif que le DD.
Le lien : un développement de Taylor au premier ordre de Sᵝ autour de S = F donne approximativement (S + d) pour un d particulier qui dépend de β et F. Le DD est donc l'approximation linéarisée du CEV autour du forward. Ils produisent des smiles presque identiques près de l'ATM et divergent dans les ailes lointaines.
Remarquez comment les deux courbes se superposent près de l'ATM mais divergent dans les ailes. La DD produit un smile presque linéaire en strike. Le CEV produit de la courbure car le squelette en loi de puissance se courbe. Pour la plupart des usages pratiques à quelques strikes de l'ATM, ils sont interchangeables.
Lien avec SABR : Le modèle SABR avec β = 1 est le SABR lognormal. Ajouter un décalage au forward (SABR décalé) donne SABR(β = 1) sur la variable déplacée. Dans la limite de vol de vol nulle (ν = 0), cela se réduit exactement à la diffusion déplacée. La DD est donc un cas dégénéré du SABR décalé -- le membre le plus simple possible de cette famille.
C'est pourquoi la DD est appelée la façon la plus simple d'ajouter du skew à BS. Vous obtenez un paramètre supplémentaire, une direction d'inclinaison, et une compatibilité exacte avec l'infrastructure BS existante. Si vous avez besoin de courbure, d'ailes ou de dynamique stochastique, vous passez à CEV, SABR ou Heston.
Quand cela suffit
La DD est une extension à un seul paramètre de Black-Scholes. C'est à la fois sa force et sa limite. Sachez quand l'utiliser et quand passer à autre chose.
Utilisez la DD quand :
1. Vous avez besoin d'un ajustement rapide du skew sans modèle complet. Coter un skew approximatif pour une discussion de desk, vérifier la cohérence d'un modèle plus complexe, ou valoriser un livre de vanilles où l'inclinaison compte plus que les ailes.
2. Votre sous-jacent peut atteindre zéro ou devenir négatif (taux, spreads). Le déplacement maintient la variable décalée positive même quand l'originale traverse zéro. C'est le cas d'usage canonique -- les desks de taux à l'époque des taux négatifs vivaient sur le lognormal décalé.
3. Vous voulez garder l'infrastructure BS existante intacte. Pas de nouvelles méthodes numériques, pas de Monte Carlo, pas d'inversion de Fourier. Décalez simplement les entrées.
Dépassez la DD quand :
1. Vous avez besoin de courbure du smile. La DD produit un skew presque linéaire. Les marchés réels ont des smiles en U avec de la convexité dans les deux ailes. La DD ne peut pas capturer cela.
2. Vous avez besoin d'un comportement dynamique du smile. La DD est un modèle statique -- le déplacement est fixe. Elle ne dit rien sur la façon dont le smile bouge quand le spot bouge. Pour la couverture dynamique, il vous faut SABR, Heston ou SLV.
3. Vous valorisez des exotiques. Les options dépendantes du chemin exigent un modèle qui décrit la dynamique de la vol, pas juste un instantané. La DD n'a aucune dynamique de vol.
Pour la crypto spécifiquement, la DD est trop simple. Les smiles crypto sont pentus, courbés et dynamiques. La DD peut donner une première inclinaison approximative, mais toute surface de production utilisera SVI, SABR, ou un modèle plus sophistiqué.
Voyez la hiérarchie des modèles comme une échelle : Black-Scholes (smile plat) → diffusion déplacée (smile incliné) → CEV/SABR (smile courbé avec dynamique) → Heston/SLV (vol stochastique à structure riche). Chaque étape ajoute de la complexité mais aussi du pouvoir explicatif. La DD est le premier barreau au-dessus de BS. Elle vaut la peine d'être connue même si vous ne l'utilisez jamais en production, car elle enseigne que le skew tient fondamentalement à la façon dont la volatilité évolue avec le niveau du sous-jacent.
Pour aller plus loin :
Modèle CEV -- le cousin non linéaire de la DD, avec des smiles courbés
Modèle SABR -- vol stochastique sur un squelette, le standard de production
Paramétrisation SVI -- ajustement direct du smile, le standard crypto