CEV depuis zéro
1/5Un seul paramètre contrôle toute la structure
CEV est probablement le modèle le plus simple qui produit du skew. Un seul exposant -- β -- détermine comment le coefficient de diffusion évolue avec le niveau du spot. C'est là toute l'astuce.
Dans Black-Scholes, l'EDS du spot est dS = σ·S·dW. Le terme de bruit est proportionnel à S, donc la volatilité en pourcentage est constante. CEV généralise cela à :
β = 0: vous obtenez le modèle de Bachelier / normal. La diffusion est σ·dW -- bruit additif, aucune dépendance au prix.
0 < β < 1: quelque chose d'intermédiaire. La diffusion croît avec S, mais moins que proportionnellement.
Pensez à β comme à un curseur sur une table de mixage. Tout à droite (β = 1) vous obtenez le monde lognormal -- des oscillations en pourcentage constantes. Tout à gauche (β = 0) vous obtenez le monde normal -- des oscillations en dollars constantes. Tout ce qui se trouve entre les deux est un mélange. Le modèle ne se soucie ni des sauts, ni des régimes, ni de la vol stochastique. Il pose simplement la question : comment la taille du choc aléatoire dépend-elle du niveau de prix ?
La volatilité en pourcentage sous CEV est σ·Sβ−1. Lorsque β < 1, l'exposant est négatif, donc la vol en pourcentage augmente à mesure que S baisse. C'est l'effet de levier, et c'est tout le moteur derrière le skew de CEV. Aucun paramètre supplémentaire, aucune source de bruit supplémentaire. Juste l'exposant.
β < 1 signifie que la vol monte quand le spot baisse
C'est l'effet de levier. Sur les marchés actions et crypto, la vol augmente systématiquement quand le spot baisse. CEV avec β < 1 capture cela mécaniquement, sans avoir besoin d'un second facteur stochastique.
Si β = 0.5, la fonction de vol locale est σ·√S. Lorsque S chute de 100 à 50, la vol locale ne baisse pas proportionnellement -- elle ne baisse que d'un facteur √(50/100) ≈ 0.71. Mais le spot a chuté de moitié. La vol en pourcentage augmente en réalité.
L'effet est automatique et déterministe. Il n'y a aucun paramètre de corrélation à ajuster, aucun second mouvement brownien. La relation prix-vol est intégrée dans l'unique exposant β.
Cela crée un skew négatif dans la volatilité implicite sans aucun paramètre supplémentaire. Quand le marché chute, la vol monte mécaniquement, donc les puts OTM deviennent plus précieux. L'aile put du smile se relève.
Le simulateur ci-dessus le montre clairement. Panneau de gauche : les trajectoires de prix CEV. Lorsque β < 1, les trajectoires qui chutent deviennent visiblement plus bruitées -- des variations plus larges aux niveaux plus bas. Panneau de droite : la vol réalisée fenêtrée tracée en fonction du niveau de prix. La pente négative est l'effet de levier.
Réglez β = 1 et le nuage de points s'aplatit. Il n'y a aucune dépendance prix-vol. C'est le monde de Black-Scholes.
Réglez β > 1 et la relation s'inverse : la vol augmente avec le prix. C'est inhabituel en pratique, mais cela vous montre toute l'étendue du modèle.
L'effet de levier n'est pas qu'une curiosité de modèle. Il est observable dans les données réalisées pour les actions, le crédit et le crypto. Lorsque les marchés chutent, la vol réalisée s'envole. Le CEV affirme que ce n'est pas parce que la vol suit son propre processus aléatoire — c'est parce que le coefficient de diffusion dépend mécaniquement du niveau de prix. C'est l'explication la moins coûteuse possible du skew.
Le smile de volatilité implicite issu du CEV
CEV produit une forme de vol implicite spécifique contrôlée entièrement par β. La forme est une inclinaison, pas un U. CEV peut produire du skew mais il ne peut pas produire de smile symétrique.
La correspondance est simple :
β = 1: Smile plat. Pas de skew, pas de courbure. C'est Black-Scholes.
β < 1: Skew négatif. L'aile put est relevée, l'aile call est abaissée. Plus β est en dessous de 1, plus le skew est prononcé.
β > 1: Skew positif. L'aile call monte, l'aile put descend. Rare sur les marchés actions/crypto mais possible sur certains marchés de matières premières.
Point essentiel, le smile issu de CEV est monotone. Il s'incline dans un sens ou dans l'autre, mais il n'a pas de forme en U. Il n'existe aucun mécanisme permettant aux deux ailes de se relever simultanément, car il n'y a ni vol-of-vol ni variance stochastique pour générer un enrichissement symétrique des ailes.
L'explorateur ci-dessus montre les deux éléments : la fonction de vol locale σ·Sβ à gauche, et le smile de volatilité implicite résultant à droite. Faites glisser β et observez-les se déplacer ensemble. La pente de la volatilité locale détermine directement l'inclinaison du smile.
À β = 1, la fonction de volatilité locale est une droite passant par l'origine (proportionnelle à S). Le smile est plat. Lorsque β passe en dessous de 1, la fonction de volatilité locale se courbe vers le bas aux valeurs élevées de S -- ce qui signifie que le processus devient moins volatil à des prix plus élevés. Le smile s'incline vers la gauche.
Le CEV comme structure du SABR
SABR’s forward equation is dF = σ·Fβ·dW₁. C'est littéralement le processus CEV. SABR ajoute simplement une seconde EDS pour le paramètre de volatilité lui-même.
Le système SABR complet est :
Deuxième ligne : σ est maintenant stochastique. ν (vol-of-vol) contrôle l'ampleur des fluctuations de σ. Lorsque ν = 0, σ est une constante et vous revenez au CEV pur.
Troisième ligne : les deux mouvements browniens sont corrélés. ρ ajoute une inclinaison supplémentaire à celle que β fournit déjà.
Le CEV est donc la fondation déterministe du SABR. L'exposant β contrôle la forme de la structure de base du smile. SABR ajoute ensuite une volatilité stochastique par-dessus : ν génère la courbure (enrichissement des ailes), et ρ ajoute une inclinaison directionnelle supplémentaire.
En pratique, les desks de taux fixent souvent β à une valeur conventionnelle (0.5 pour les taux, parfois 0 ou 1 selon le régime) puis calibrent σ, ν, ρ sur le smile observé. La structure de base est choisie une fois pour toutes ; la surcouche stochastique est ajustée quotidiennement.
La comparaison ci-dessus le rend visuel. La courbe verte pleine est le CEV seul -- une inclinaison monotone. La courbe bleue en pointillés est le SABR avec le même β mais un ν non nul. SABR ajoute la courbure que le CEV ne peut pas produire.
Réglez ν = 0 dans le curseur et observez les courbes se superposer parfaitement. Cela confirme la relation : le SABR avec une vol-of-vol nulle est exactement le CEV. La structure de base est partagée.
Lorsque vous calibrez le SABR, le choix de β n'est pas anodin. Il détermine quelle part du skew observé est attribuée à la structure de base (volatilité dépendante du prix) par rapport à la surcouche stochastique (inclinaison ρ). Différents choix de β conduisent à différents ρ ajuste, ce qui influence la dynamique du forward et donc le comportement de couverture. Comprendre CEV en soi vous aide à comprendre ce que β fait réellement à l'intérieur de SABR.
Limites et usages
Le CEV est trop simple pour ajuster de vrais smiles. Mais c'est le bon modèle mental pour comprendre comment fonctionne la vol dépendante du prix, et il apparaît dans chaque calibration SABR.
Ce que le CEV ne peut pas faire :
Pas de courbure. Les vrais smiles présentent à la fois une inclinaison et une courbure — les ailes des puts sont pentues, les ailes des calls sont élevées. Le CEV produit une inclinaison monotone mais aucune forme en U. Si vous essayez d'ajuster un vrai smile crypto avec le CEV seul, vous manquerez complètement les ailes.
Pas de dynamique de structure par terme. Le CEV n'a pas de retour à la moyenne, pas de clustering de vol, pas de changements de régime. La fonction de vol locale est statique. Les smiles à courte et à longue échéance ont la même forme, ce qui contredit le comportement observé de la structure par terme.
Absorption à zéro. Pour β < 1, le processus peut atteindre zéro et y être absorbé. C'est un casse-tête technique pour la valorisation et cela nécessite des conditions aux limites particulières.
Ce à quoi le CEV est utile :
Enseigner l'effet de levier. Si vous voulez un seul modèle pour expliquer pourquoi la vol monte quand le spot baisse, c'est le CEV. Un paramètre, un mécanisme, une intuition claire.
Sélection de la structure SABR. Lors de la calibration de SABR, vous choisissez β en premier. Comprendre ce que fait CEV en soi vous indique ce que vous attribuez au backbone par rapport à la surcouche stochastique.
Approximations rapides du skew. Le développement de la vol implicite CEV vous donne une relation analytique entre β et la pente du skew. Si quelqu'un vous cote un chiffre de skew, vous pouvez en déduire le β implicite de tête.
Débat normal vs lognormal. Sur les marchés de taux, le choix entre les conventions de cotation normale (β = 0) et lognormale (β = 1) fait l'objet d'un débat vivant. CEV en fait un spectre continu plutôt qu'un choix binaire.
CEV dit : la taille du choc aléatoire dépend du niveau de prix, et β contrôle comment. Tout le reste -- skew, effet de levier, backbone SABR -- découle de cette seule idée.
Pour aller plus loin :
Modèle SABR — l'extension à vol stochastique qui utilise le CEV comme structure
Paramétrisation SVI — ajustement direct du smile pour les surfaces de production
Modèle de Heston — une approche différente de vol stochastique avec variance à retour à la moyenne
Méthodes d'interpolation — toutes les méthodes comparées