Black-Scholes à partir de zéro

1/7

Section 1

Qu'est-ce qu'une option d'achat ?

Une option d'achat est un choix : vous pouvez acheter plus tard à un prix fixe K, ou renoncer. Ce seul détail crée toute la forme du payoff.

Si l'actif finit sous le strike, vous ignorez l'option. S'il finit au-dessus, vous achetez au prix fixe moins cher et empochez la différence.

Spot à l'échéance$115

Payoff = max($115 − $100, 0) = $15 — acheter à $100, vendre à $115

Déplacez le curseur. Sous K, le payoff est nul — vous n'exerceriez jamais. Au-dessus de K, le payoff augmente dollar pour dollar. Cette rupture en K est toute la raison d'être des options.

Analogie

Imaginez payer de petits frais de réservation sur un billet de concert. Si les prix de revente explosent, votre réservation a de la valeur. Si les prix restent bas, vous renoncez. La prime de l'option est ces frais de réservation.

Section 2

Les cinq paramètres

Avant d'écrire la formule, rendez chaque symbole banal. Si les symboles restent mystérieux, tout le modèle reste mystérieux.

Déplacez chaque curseur ci-dessous et observez la réaction du prix du call. Chaque paramètre pousse dans une direction. Familiarisez-vous avec cela avant de nommer la formule.

SPrix spot$100

Où se situe l'actif en ce moment.

KPrix d'exercice$100

Le prix auquel vous pourrez acheter plus tard.

TTemps jusqu'à l'échéance1.00 yr

Combien de temps l'option reste active.

rTaux sans risque5.0%

Ce que rapporte l'argent pendant que vous attendez.

σVolatilité20%

Quelle est l'ampleur perçue de la plage de prix future.

Prix du call

$11.91

Put : $7.03

d₁ = 0.3500 · d₂ = 0.1500

Résumé en une phrase : Black-Scholes valorise un droit dont la valeur dépend d'où se trouve l'actif maintenant (S), du prix auquel vous pouvez acheter (K), du temps dont vous disposez (T), de l'ampleur possible du futur (σ) et du coût de l'attente (r).

Section 3

Deux grandes composantes

La plupart des gens rencontrent d'abord la formule finale. C'est à l'envers. Apprenez d'abord l'histoire, puis posez les symboles par-dessus.

Parcourez les trois couches ci-dessous. Observez le texte se transformer en mathématiques.

Idée

prix du call = potentiel de hausse type actif − coût d'un achat ultérieur

C = S · N(d₁) − K · e⁻ʳᵀ · N(d₂)

Survolez n'importe quelle partie de la formule pour voir sa signification.

La première composante correspond à l'exposition à la hausse de type sous-jacent que vous obtenez. La seconde est ce que vous devriez payer pour cela, actualisé à aujourd'hui. La différence est la valeur de l'option.

N(d₁) et N(d₂) sont des pondérations comprises entre 0 et 1. Elles proviennent de la distribution normale. Nous les décortiquerons ensuite.

Section 4

Que sont d₁ et d₂ ?

La partie qui effraie la plupart des gens. Elles n'ont rien de mystique. Ce sont des scores — mesurant à quel point la configuration de l'option est favorable, en unités de volatilité sur une durée de vie.

N(d) est l'aire sous la courbe en cloche à gauche de d. Déplacez le curseur et observez comment l'aire ombrée — la pondération — change.

d₁0.35

N(d₁)0.6701

N(d₂)0.5793

d₂ = d₁ − σ√T0.15

Décomposition de d₁ :

numérateur de d₁

ln(S/K) + (r + σ²/2)T

ln(S/K) — sommes-nous au-dessus ou en dessous du strike, en échelle logarithmique ?
(r + σ²/2)T — dérive et correction de volatilité sur la durée de vie de l'option.

dénominateur de d₁

σ√T

Une durée de vie de l'option en volatilité. C'est la règle avec laquelle vous mesurez tout. Le numérateur indique à quel point la configuration est favorable ; le dénominateur l'exprime en unités de « fluctuations ».

d₂

d₂ = d₁ − σ√T

Même score, moins une durée de vie complète de volatilité. N(d₁) pondère la composante de type sous-jacent. N(d₂) pondère la composante de paiement du strike.

Section 5

Traiter un exemple complet

Les chiffres rendent les choses concrètes. Commencez avec des valeurs par défaut simples, puis modifiez les paramètres et observez la mise à jour de chaque étape intermédiaire.

S

K

T

r

σ

ln(S/K) = ln(100/100) = 0.0000▸

Pile au strike — aucun avantage de moneyness intégré.

(r + σ²/2)T = (0.05 + 0.0200) × 1 = 0.0700▸

Drift + correction de volatilité sur la durée de vie de l'option.

σ√T = 0.2 × 1.0000 = 0.2000▸

Une durée de vie de volatilité — l'étalon de mesure.

d₁ = 0.0700 / 0.2000 = 0.3500▸

La configuration est 0.35 variations favorables.

d₂ = 0.3500 − 0.2000 = 0.1500▸

Même score, moins une durée de vie de volatilité.

N(d₁) = 0.6701, N(d₂) = 0.5793

Les deux pondérations issues de la distribution normale.

C = 100 × 0.6701 − 100 × e^(-0.0500) × 0.5793▸

$67.01 de gain potentiel moins $55.10 de coût actualisé.

C = $11.91

Le prix du call selon Black-Scholes.

Section 6

Pourquoi ce prix et aucun autre

Black-Scholes n'est pas une conjecture. Sa colonne vertébrale est la réplication : si vous pouvez copier une option à l'aide du sous-jacent et de cash, l'option et la copie doivent coûter la même chose.

Simplifions à une seule période. Le sous-jacent va à 120 $ ou 80 $. Le call avec K = 100 paie 20 $ ou 0 $. Pouvons-nous construire un portefeuille de sous-jacent et de cash qui reproduit exactement ces payoffs ?

Portefeuille de réplication

120Δ + B = 20Répliquez le payoff de l'état haussier

80Δ + B = 0Répliquez le payoff de l'état baissier

Δ = 0.5, B = −40Une demi-action, emprunter $40

Cost = 0.5 × 100 − 40 = $10L'option doit aussi coûter $10 — sinon il y a arbitrage

La copie coûte 10 $. L'option doit aussi coûter 10 $ — sinon quelqu'un achète la moins chère, vend la plus chère et réalise un profit sans risque. C'est pourquoi le modèle est discipliné par l'arbitrage, pas par l'intuition.

Black-Scholes est la version lisse, en temps continu, de cet argument de copie — appliqué une infinité de fois à mesure que le prix du sous-jacent change continûment.

Section 7

Écrivez-la de mémoire

Touchez chaque carte pour vous tester. Si vous pouvez remplir les quatre, vous maîtrisez parfaitement la formule.

Vérification rapide de mémorisation — touchez pour voir les réponses :

Où aller ensuite :

Volatilité implicite — utiliser le modèle à l'envers à partir du prix

Référence des Greeks — relier le prix aux sensibilités de couverture

Parité call-put — la prochaine identité de valorisation à maîtriser parfaitement