La réplication statique à partir de zéro
1/5Tout payoff est une somme de payoffs plus simples
Chaque diagramme de payoff complexe que vous avez vu n'est qu'un portefeuille de composantes plus simples. Calls, puts, forwards. La forme que vous voyez est la somme de leurs lignes de payoff individuelles.
Un butterfly, c'est trois calls. Un straddle, c'est un call plus un put. Un collar, c'est le sous-jacent plus un put moins un call. Rien de tout cela n'est exotique. Ce ne sont que des combinaisons linéaires de vanilles.
Sélectionnez une forme de payoff ci-dessous, puis cliquez sur Décomposer pour voir les composantes dont la somme donne la courbe verte. Les lignes en pointillés sont les jambes individuelles. Leur somme donne la courbe verte pleine.
Si tout payoff est une somme de payoffs plus simples, alors valoriser n'importe quel payoff revient à valoriser ses composantes. Et si vous pouvez négocier ces composantes, vous pouvez répliquer n'importe quelle forme sans avoir besoin d'un instrument sur mesure. C'est la promesse fondamentale de la réplication statique.
Les vanilles comme briques de base
Un call spread, c'est deux calls. Un butterfly, trois. Un iron condor, quatre. Avec suffisamment de calls et de puts aux bons strikes, vous pouvez approximer n'importe quel payoff linéaire par morceaux.
Chaque option vanille ajoute un « coude » au payoff combiné. Un call de strike K plie le payoff vers le haut en K. Un put de strike K le plie vers le haut en dessous de K. Chaque coude modifie la pente selon la quantité de l'option.
Construisez votre propre portefeuille ci-dessous. Ajoutez des calls et des puts à différents strikes. Observez le payoff combiné se mettre à jour en direct. Essayez de construire un payoff plat entre 90 et 120, avec rien au-dessus ni en dessous.
Le résultat de Breeden-Litzenberger
La dérivée seconde des prix des calls par rapport au strike donne la densité de probabilité risque-neutre. Le marché vous indique implicitement la probabilité de chaque issue possible.
Breeden et Litzenberger (1978) ont montré qu'en prenant la grille des prix des calls sur l'ensemble des strikes et en calculant la courbure en chaque point, on retrouve la fonction de densité de la distribution risque-neutre. Aucun modèle nécessaire. Juste des prix et de l'arithmétique.
La courbe verte est la densité extraite. Son sommet indique où le marché estime que le sous-jacent a le plus de chances de se régler. Sa largeur indique le degré d'incertitude du marché. Augmentez la volatilité et observez la densité s'aplatir et s'étaler.
Ce n'est ni une estimation ni la sortie d'un modèle. C'est une extraction directe, sans modèle, à partir des prix de marché. La seule hypothèse est que les prix des calls sont deux fois différentiables par rapport au strike, ce qui est vérifié dans tout marché sans arbitrage.
Répliquer une option binaire
Un call binaire paie 1 $ au-dessus du strike, 0 $ en dessous. Vous pouvez l'approximer avec un call spread serré : achetez le call en K, vendez le call en K+ε, et mettez à l'échelle par 1/ε. À mesure que la largeur du spread tend vers zéro, la rampe devient une marche.
C'est le lien fondamental entre vanilles et binaires. Une binaire est la limite d'un call spread lorsque la largeur du spread tend vers zéro. De façon équivalente, la binaire est l'opposé de la dérivée du prix du call par rapport au strike : D(K) = −∂C/∂K.
Faites glisser le curseur pour resserrer le spread. Observez la rampe bleue converger vers la fonction en escalier verte.
Répliquer des payoffs arbitraires
Carr et Madan (1998) ont prouvé que tout payoff européen deux fois différentiable peut être décomposé en trois éléments : une position forward, une strip de puts OTM en dessous du forward et une strip de calls OTM au-dessus du forward.
C'est la formule de Carr-Madan. Elle indique que la courbure de votre payoff cible — la dérivée seconde f″(K) — détermine la quantité nécessaire de chaque option OTM. La partie linéaire du payoff est capturée par le forward. La courbure est capturée par les strips d'options.
Sélectionnez un payoff ci-dessous, puis cliquez sur Afficher la décomposition de Carr-Madan pour voir les trois éléments. La ligne jaune est la composante forward. La zone rouge est la strip de puts OTM. La zone bleue est la strip de calls OTM. Ensemble, leur somme donne la cible verte.
Remarquez la ligne de séparation en F (le prix forward). En dessous de F, seuls les puts contribuent. Au-dessus de F, seuls les calls contribuent. Ce n'est pas arbitraire — utiliser des options OTM minimise le coût de la réplication, car les options OTM sont moins chères que les options ITM pour le même contenu informationnel.
La décomposition de Carr-Madan est le fondement théorique des swaps de variance, du calcul du VIX et des stratégies de réplication de portefeuille. La formule du VIX est littéralement une approximation discrète de cette intégrale. Chaque fois que vous voyez une « strip d'options », voici les mathématiques qui se cachent derrière.
Pour aller plus loin :
Options binaires — la brique de base des échelles de réplication
Couverture en delta — l'alternative dynamique à la réplication statique
Volatilité implicite — extraire les anticipations du marché à partir des prix