Bates à partir de zéro
1/5Heston + sauts = Bates
Heston explique le smile à échéance longue : la variance stochastique crée un skew lisse et une structure par terme. Merton explique le smile à échéance courte : les sauts du processus de prix créent des ailes abruptes aux échéances courtes. Bates combine les deux en un seul modèle.
Le problème central est simple. Heston évolue de manière continue -- le prix spot ne se téléporte jamais. Heston seul ne peut donc pas expliquer pourquoi un put 25-delta à 1 semaine peut se traiter à 80% de vol alors que la version à 1 an se traite à 55%. La pente des ailes à courte échéance exige quelque chose que la diffusion continue ne peut pas fournir : des gaps instantanés.
Merton (1976) a résolu le problème des gaps en ajoutant un processus de sauts de Poisson au mouvement brownien géométrique. Mais Merton n'a pas de variance stochastique et ne peut donc pas reproduire la dynamique de la structure par terme. Il valorise bien une échéance, puis s'effondre sur l'ensemble de la courbe.
Bates (1996) a assemblé les deux. Le résultat est le modèle de référence pour les desks exotiques qui ont besoin à la fois de dynamiques réalistes et d'un pricing tractable.
Deuxième ligne : la variance suit le même processus CIR que Heston. Rien ne change ici.
Troisième ligne : même structure de corrélation. ρpilote toujours le skew régulier.
Imaginez une voiture sur une route cahoteuse (Heston : la qualité du revêtement change de façon stochastique). Ajoutez maintenant des nids-de-poule qui apparaissent au hasard (sauts de Merton : la voiture chute brusquement). Il vous faut des suspensions pour les bosses et des airbags pour les nids-de-poule. Bates vous donne les deux.
L'idée mathématique clé : comme la composante de saut est indépendante du processus de variance, la fonction caractéristique de Bates est simplement la fonction caractéristique de Heston multipliée par le facteur de saut de Merton. Le pricing reste donc semi-analytique -- l'inversion de Fourier fonctionne toujours. Pas besoin de Monte Carlo pour les vanilles.
Le rôle des paramètres supplémentaires
Bates hérite des cinq paramètres de Heston (κ, θ,σ, ρ, v₀) et ajoute trois paramètres de saut :λ (fréquence des sauts), μⱼ (taille moyenne des sauts), et σⱼ (volatilité des sauts). Huit boutons de réglage au total.
λ (lambda) -- intensité des sauts. Nombre attendu de sauts par an. λ = 0 redonne un pur Heston. λ = 2 signifie environ deux sauts par an en moyenne. Un λ plus élevé fait remonter davantage les ailes car le marché intègre plus d'événements de gap dans les options.
μⱼ (mu-J) -- taille moyenne des sauts. Le log-rendement moyen d'un saut. Un μⱼ négatif signifie que les sauts sont biaisés vers le bas (sauts de krach). Cela crée une asymétrie : l'aile put se redresse plus que l'aile call. En crypto,μⱼ est typiquement compris entre −0.05 and−0.15, reflétant les cascades de liquidation et les flash crashes.
σⱼ (sigma-J) -- volatilité des sauts. L'écart-type de la taille des sauts. Même si le saut moyen est nul, un σⱼ non nul crée un relèvement symétrique des ailes. Il s'agit d'un pur excès de kurtosis provenant de sauts de taille aléatoire. Un plus grandσⱼ signifie des queues plus épaisses.
Activez et désactivez les sauts ci-dessus. Quand les sauts sont désactivés, vous voyez du pur Heston (bleu pointillé). Activez-les et les ailes se relèvent -- surtout l'aile gauche, car μⱼ < 0 biaise les sauts vers le bas. Poussez λ à 3 ou 4 et l'effet est spectaculaire. Réglez μⱼ = 0 et remarquez que le relèvement devient symétrique.
L'idée cruciale : ρ (Heston) et μⱼ(sauts) créent tous deux du skew, mais par des mécanismes complètement différents.ρ crée du skew via la corrélation spot-vol, qui se construit progressivement au fil du temps. μⱼ crée du skew via des sauts directionnels, qui apparaissent instantanément. C'est pourquoi Bates peut ajuster simultanément le court terme et le long terme.
Décomposition de la structure par terme
Le smile à courte échéance est principalement dû aux sauts. Le smile à longue échéance est principalement dû à la vol stochastique. Cette séparation est la raison d'être de Bates -- aucune des deux composantes seule n'ajuste toute la structure par terme.
Le mécanisme repose sur l'échelonnement de la variance. La variance diffusive s'accumule proportionnellement à T : sur une année, la composante diffusive a le temps de se constituer. La variance des sauts s'échelonne aussi avec T (λ · T sauts attendus), mais chaque saut individuel est de la même taille quel que soit l'horizon.
À T = 7 jours, vous n'avez eu quasiment aucun temps pour que la variance diffusive s'accumule, mais un seul saut peut encore vous frapper à pleine taille. Un −krach de 10 % en une semaine a le même impact sur le payoff qu'un−krach de 10 % en un an -- mais le krach représente une fraction bien plus grande du mouvement total attendu sur 7 jours que sur 365 jours.
À T = 1 an, la vol stochastique a eu le temps d'explorer toute la distribution des trajectoires de variance. Retour à la moyenne, clustering de vol et corrélation spot-vol jouent pleinement. La composante de saut est toujours là, mais elle représente une fraction plus faible de la variance totale.
Regardez les quatre graphiques ci-dessus. À T = 7d, la région rouge (contribution des sauts) domine les ailes. À T = 1y, ce n'est qu'un mince filet. Augmentez λ et observez le point de croisement se déplacer -- des sauts plus fréquents poussent la contribution des sauts plus loin sur la courbe.
Cette décomposition a des implications directes pour le trading. Si vous pensez que le risque de saut est mal valorisé, vous tradez la partie courte de la courbe. Si vous pensez que la dynamique de la variance est mal valorisée, vous tradez la partie longue. Bates vous donne un cadre pour séparer ces paris.
Calibrer Bates
Huit paramètres, c'est beaucoup. Différentes combinaisons peuvent produire des smiles similaires, et l'optimiseur peut s'égarer en territoire instable. Une calibration pratique exige de la discipline.
L'approche standard est une stratégie en deux étapes :
Étape 1 : fixez ce qui est observable. v₀ est fixé à partir de la variance implicite ATM actuelle. Le taux de dérive r est connu. Il reste sept paramètres libres.
Étape 2 : calibrez par groupes. Ajustez d'abord κ, θ, σ, ρ au smile de long terme (où les sauts contribuent peu). Puis ajustezλ, μⱼ, σⱼ aux résidus de court terme. Itérez quelques fois pour affiner.
Cette approche fonctionne parce que les deux groupes de paramètres contrôlent des parties différentes de la surface. Les paramètres de Heston façonnent la partie longue ; les paramètres de saut façonnent la partie courte. Les ajuster séquentiellement réduit la dimensionnalité de chaque étape d'optimisation.
Le piège du surajustement. Plus de paramètres améliorent toujours l'ajustement en échantillon. Mais si vous laissez les huit fluctuer librement, vous risquez d'ajuster du bruit. Le signe révélateur : des paramètres qui changent radicalement d'un jour à l'autre tout en produisant des smiles similaires. Si λ oscille entre 0.5 et 3.0 sur des calibrations consécutives, votre ajustement est instable.
Le graphique ci-dessus montre une comparaison réaliste. Heston (orange, 5 paramètres) ajuste bien la zone ATM mais rate systématiquement les puts profondément OTM. Bates (vert, 8 paramètres) réussit dans les ailes car la composante de saut capture le skew abrupt à courte échéance que Heston ne peut pas atteindre.
Regardez le graphique des résidus sous le graphique principal. Les résidus de Heston sont importants et systématiques dans les ailes -- le modèle est biaisé, pas seulement bruité. Les résidus de Bates sont plus faibles et plus aléatoires. C'est la signature d'une amélioration réelle, et non d'un simple surajustement.
Règle empirique : si l'ajout de 3 paramètres réduit la SSE de plus de 50%, la complexité supplémentaire est justifiée. Si la réduction n'est que de 10-20%, mieux vaut peut-être rester sur Heston et accepter l'erreur dans les ailes.
Le modèle de référence en crypto
Bates est le modèle standard des desks exotiques crypto car les marchés crypto présentent à la fois une volatilité stochastique et des sauts fréquents. Cascades de liquidations, depegs et pannes d'exchanges créent un risque de gap réel que Heston seul ne peut pas valoriser.
Les surfaces de volatilité crypto ont des caractéristiques distinctives que Bates gère bien :
Régimes de vol persistants. Le BTC peut rester à 30 % d'IV pendant des semaines, puis bondir à 80 % sur une seule cascade de liquidations. Un faibleκ (retour à la moyenne lent) combiné à un v élevé₀capture l'environnement post-choc. C'est la composante Heston qui fait son travail.
Mouvements de gap fréquents. Un krach intrajournalier de 10 % est rare sur les actions mais se produit plusieurs fois par an dans la crypto. Ce sont de véritables sauts, pas simplement de grands mouvements diffusifs. Ils se manifestent par des ailes de put de court terme extrêmement raides qu'aucune valeur deσ (vol-of-vol) ne peut égaler. La composante de saut gère cela.
Dans les deux sens. Contrairement aux marchés d'actions où les sauts sont presque toujours à la baisse, la crypto présente aussi un risque de gap à la hausse significatif (short squeezes, approbations surprises d'ETF, cotations sur des exchanges). Réglerμⱼ plus proche de zéro (ou même légèrement positif pour certaines cryptos) permet au modèle de capturer un risque de gap symétrique.
La décomposition de la variance ci-dessus montre comment la variance totale ATM se répartit entre les composantes diffusive et de saut. Pour des paramètres crypto typiques, les sauts peuvent représenter 20-40% de la variance totale. Ce n'est pas un terme de correction -- c'est un effet de premier ordre.
Au-delà de Bates : SLV. Bates ajuste mieux la surface observée que Heston, mais il ne peut toujours pas ajuster exactement chaque strike et chaque échéance. Pour le pricing d'exotiques en production, la plupart des desks superposent une couche de volatilité locale par-dessus, créant un modèle stochastic-local-vol (SLV). Bates fournit le moteur de dynamique ; la volatilité locale fournit la calibration exacte. Voir la référence SLV pour les détails.
Quand Bates est excessif : si vous avez seulement besoin d'interpoler un seul smile pour une seule échéance, utilisez SVI. Si vous avez besoin d'une surface complète sans dynamique, SSVI est plus rapide et plus stable. Bates justifie sa complexité quand vous avez besoin de la dynamique du sous-jacent -- pour le pricing d'exotiques, la couverture de produits path-dependent, ou la décomposition du smile en composantes économiques.
Black-Scholes : pas de smile. Une seule vol n'ajuste rien.
Heston : dynamique de smile lisse. Gère la partie longue.
Bates : lisse + sauts. Gère les deux extrémités.
SLV : calibration exacte + dynamique. Le standard en production.
Chaque étape ajoute de la complexité et un coût de calibration. L'art consiste à savoir quand la machinerie supplémentaire justifie le surcoût pour votre cas d'usage spécifique.
Pour aller plus loin :
Heston à partir de zéro -- exploration approfondie des cinq paramètres de Heston
Paramétrisation SVI -- le standard d'ajustement de smile pour les surfaces de volatilité crypto
SSVI -- paramétrisation de surface complète sans arbitrage
Méthodes d'interpolation -- comparaison de toutes les méthodes