Bachelier à partir de zéro
1/5Des dollars, pas des pourcentages
Black-Scholes dit « un mouvement de 10 % ». Bachelier dit « un mouvement de 10 $ ». C'est là toute la divergence philosophique entre les deux plus anciens modèles d'évaluation d'options.
Louis Bachelier a publié son modèle en 1900 -- 73 ans avant Black et Scholes. Son idée était d'une simplicité extrême : les variations de prix sont additives et suivent une loi normale. Le modèle tient en une équation :
Si la vol normale est de 20 $, le modèle prédit que le prix peut bouger d'environ 20 $ en un an. Que le prix parte de 40 $ ou de 400 $, l'oscillation a la même taille en dollars. C'est cela, « additif » -- le bruit ne dépend pas du niveau de prix.
Comparez cela avec Black-Scholes, où le bruit est multiplicatif : dS = S·σ·dW. La même volatilité de 30 % produit un mouvement de 30 $ sur une action à 100 $ mais un mouvement de 150 $ sur une action à 500 $. La règle s'étire.
Faites glisser le curseur de prix. La règle de Bachelier garde ses graduations à intervalles fixes en dollars. La règle BS s'étire ou se contracte, car chaque graduation représente un pourcentage fixe du prix courant.
Le modèle additif peut produire des prix négatifs. C'est un défaut si vous évaluez des options sur actions. Mais c'est un atout pour les taux d'intérêt (devenus négatifs en EUR, JPY, CHF) et pour les spreads (dont le signe est naturellement variable). Bachelier avait 73 ans d'avance -- son « défaut » est devenu le standard du marché pour les options de taux.
La formule est plus simple que vous ne le pensez
Le prix d'un call selon Bachelier comporte moins d'éléments que Black-Scholes. Pas de logarithmes. Pas de facteur d'actualisation compliqué. Juste une soustraction, un ratio et deux lectures de la loi normale.
Décomposez la formule en deux morceaux et elle devient facile à retenir :
Piece 1: (S − K)·Φ(d) -- le payoff intrinsèque, pondéré par la probabilité. Si le call termine dans la monnaie, vous obtenez S − K. Φ(d) est la probabilité que cela se produise.
Piece 2: σn√T·φ(d) -- le coussin de valeur temps. Même si le spot est proche du strike, l'incertitude donne une chance à l'option. Plus de volatilité ou plus de temps augmente ce terme.
Comparez avec Black-Scholes : C = S·Φ(d₁) − K·e−rT·Φ(d₂). BS utilise ln(S/K) là où Bachelier utilise S−K. Ce logarithme est toute la différence. Près de l'ATM, ils concordent.
Éloignez le strike du spot et observez les deux prix diverger. Près de l'ATM, ils sont presque identiques, car les approximations linéaire et logarithmique coïncident localement. Loin OTM, les modèles divergent, car Bachelier autorise les prix négatifs et BS non.
Vol normale vs vol BS
La conversion entre les deux est simple près de l'ATM : σn ≈ S · σBS. Un smile normal plat correspond à un smile BS incliné, car le même mouvement en dollars représente un pourcentage différent à chaque strike.
Si le spot est à 100 $ et la vol BS à 30 %, la vol normale vaut environ 30 $. Si le spot chute à 50 $, les mêmes 30 $ de vol normale deviennent 60 % en termes BS. Rien n'a changé dans le monde de Bachelier -- mais la vol BS a doublé.
C'est pourquoi un smile Bachelier parfaitement plat (une seule vol normale pour tous les strikes) produit un smile BS incliné. Pour les strikes bas, le même mouvement en dollars représente un pourcentage plus élevé. Pour les strikes hauts, il représente un pourcentage plus faible. La courbe de volatilité implicite BS s'incline vers le bas de gauche à droite.
L'outil interactif ci-dessous montre les deux visions du même marché. Bachelier donne une seule vol. BS donne une courbe. Aucun des deux n'a tort -- ce sont des systèmes de coordonnées différents pour le même ensemble de prix d'options.
Quand Bachelier est le bon modèle
Bachelier est le standard du marché pour les options de taux, les options sur spread et tout produit dont le sous-jacent peut devenir négatif. Ce n'est pas le bon choix par défaut pour le spot crypto -- mais c'est parfait pour les produits de base et de taux de financement.
Taux d'intérêt : Quand la BCE a poussé les taux en territoire négatif en 2014, Black-Scholes s'est effondré. On ne peut pas prendre le logarithme d'un nombre négatif. Les desks de taux du monde entier sont passés de la cotation lognormale à la cotation normale du jour au lendemain. La vol des swaptions est désormais cotée en points de base de vol normale, pas en pourcentage de vol lognormale.
Spreads : La différence entre deux prix est naturellement additive. Un calendar spread, un trade de base ou un spread cross-devises peut être positif ou négatif. Bachelier gère cela sans bricolage.
Produits de financement : Les taux de financement crypto fluctuent autour de zéro et peuvent devenir négatifs. Si vous évaluez des options sur taux de financement, Bachelier est le langage naturel.
Spot crypto : Les prix sont positifs et présentent des effets de levier (la vol monte quand le prix baisse). Le cadre lognormal est plus naturel ici. Utilisez BS pour le spot, Bachelier pour les taux et les spreads.
Le panneau de gauche montre des trajectoires Bachelier : bruit additif, symétriques, certaines traversant zéro. Le panneau de droite montre des trajectoires BS : bruit multiplicatif, toujours positives, avec une distribution à longue queue droite. Ajoutez des trajectoires et observez combien de trajectoires Bachelier passent en négatif -- c'est le « défaut » qui est en réalité un atout pour les taux.
Le problème du faux skew
Si vous cotez un marché Bachelier en termes Black-Scholes, vous voyez un skew qui n'existe pas. Le « skew » n'est qu'un changement de coordonnées. C'est la leçon la plus importante de cette page.
Imaginez un teneur de marché qui cote ses options avec une vol normale plate. Chaque strike reçoit 20 $ de vol normale. Pas de skew. Pas de smile. Un seul chiffre.
Maintenant, un trader convertit ces prix en volatilité implicite BS avec un solveur d'IV standard. Les options à strikes bas affichent une vol BS plus élevée. Les options à strikes hauts affichent une vol BS plus faible. Le trader voit un skew des puts et croit que le marché intègre un risque de krach.
Mais il n'y a aucun risque de krach dans ce marché. Le skew est un artefact créé en forçant un monde normal à travers un prisme lognormal. Un mouvement de 20 $ sur un sous-jacent à 80 $ représente 25 % en termes BS. Le même mouvement de 20 $ sur un sous-jacent à 120 $ ne représente que 16,7 %. Pourcentages différents, même mouvement en dollars.
Cela compte en pratique parce que :
Vous pouvez mal diagnostiquer le skew. Si un desk de taux cote en vol normale et que vous convertissez en BS, vous verrez un skew qui est un artefact à 100 %. Ne le tradez pas.
Le lien avec SABR. Le paramètre bêta de SABR contrôle votre position sur le spectre entre Bachelier et BS. Bêta = 0, c'est du pur Bachelier (normal). Bêta = 1, c'est du pur BS (lognormal). La majeure partie du « skew » observé à bêta = 0 en termes BS est ce même artefact de coordonnées.
La règle d'or : Avant de trader un skew, demandez-vous s'il s'agit d'une caractéristique du marché ou du modèle. Ce qui est plat dans un système de coordonnées peut sembler incliné dans un autre.
Pour aller plus loin :
Black-Scholes -- le pendant lognormal
Modèle SABR -- utilise bêta pour se placer sur le spectre normal-lognormal
Modèle CEV -- relie normal et lognormal via le paramètre bêta
Skew -- distinguer les artefacts du modèle des caractéristiques du marché