Modèle de Bachelier (normal)
Bachelier (1900) fut le premier modèle de valorisation des options -- précédant Black-Scholes de 73 ans. Les variations de prix sont additives et distribuées normalement. Au lieu de modéliser les rendements en pourcentage (lognormal), Bachelier modélise les variations en dollars (normal). Le prix peut devenir négatif -- un défaut pour les actions, un atout pour les taux d'intérêt.
Le modèle a exactement un paramètre : la vol normale, mesurée en termes absolus (p. ex., « 50 $/an » au lieu de « 30 %/an »). Il n'y a pas de smile. Si le monde était Bachelier, chaque option, sur tous les strikes, aurait la même vol normale. Ce smile plat est la prédiction centrale du modèle.
Le skew peut être un artefact de modèle
Bachelier produit un smile plat par construction. Convertissez ces prix en vol implicite Black-Scholes et vous obtenez un skew. Ce skew n'existe pas dans le marché -- c'est la conséquence de l'application forcée de mathématiques lognormales à un monde qui pourrait être normal.
Explorer le modèle
La ligne bleue plate en pointillés est la vision de Bachelier : une seule vol pour tous les strikes. La courbe verte montre les mêmes prix d'options ré-exprimés en termes Black-Scholes. Abaissez le prix spot et observez le skew BS apparent se raidir -- alors que rien n'a changé dans le monde de Bachelier.
Explorateur Bachelier vs Black-Scholes
La ligne bleue plate en pointillés est la vision de Bachelier : une seule vol pour tous les strikes. La courbe verte représente les mêmes prix d'options ré-exprimés en termes de Black-Scholes. Le « skew » est un artefact de modélisation, pas une caractéristique du marché.
Le rôle de chaque paramètre
- Vol normale : le paramètre unique. Mesurée en unités de prix absolues par an (pas en pourcentage). Une vol normale de 20 signifie que le prix devrait bouger de 20 $ sur un an (un écart-type). Tous les strikes reçoivent cette même vol -- le smile est plat.
- Prix spot : ne change pas le smile Bachelier (toujours plat). Mais il affecte considérablement le smile équivalent BS. À des prix spot plus bas, le même mouvement en dollars se traduit par un mouvement en pourcentage plus grand, donc la vol implicite BS augmente -- créant un skew des puts apparent.
Pourquoi le « skew » BS apparaît
Le beta de SABR choisit le backbone
Le backbone de SABR (le smile lorsque la vol-de-vol est désactivée) dépend de beta. Beta = 0 : Bachelier. Beta = 1 : Black-Scholes. Beta détermine où vous vous situez sur le spectre normal-lognormal.
Où Bachelier est utilisé
Pas pour les options sur crypto spot
Les prix spot des cryptos sont positifs et présentent des effets de levier (la vol monte quand le prix baisse). Le cadre lognormal (famille Black-Scholes) est plus naturel ici. Bachelier est le bon outil pour les taux, les spreads et tout ce qui peut devenir négatif.
Bachelier vs Black-Scholes en un coup d'œil
La formule de conversion
Proche de la monnaie (ATM), on peut convertir entre les deux :
Une action à 100 de vol normale. Mais cette approximation se dégrade loin de l'ATM, ce qui explique précisément pourquoi le « smile » BS apparaît quand vous convertissez des prix Bachelier.
Smile plat par définition
Bachelier traite les variations de prix comme additives. Son smile est plat par définition. Le skew qui apparaît après conversion en termes BS est un artefact du choix de modèle, pas une caractéristique du marché.
Explorateur d'équations
Explorateur d'équations
💡 Conseil : Essayez de répondre à chaque question vous-même avant de révéler la réponse.
Construire l'intuition mathématique
Apprendre Bachelier à partir de zéroLeçon interactive · aucun prérequisCette leçon commence par le modèle mental en langage courant, puis passe en revue la volatilité normale, la formule de valorisation, et pourquoi un smile normal plat peut apparaître comme un skew après traduction en termes Black-Scholes.
Voir aussi :
- Black-Scholes -- La contrepartie lognormale
- Modèle CEV -- Relie normal et lognormal via le paramètre beta
- Modèle SABR -- Utilise beta pour choisir sur le spectre normal-lognormal
- Diffusion déplacée -- Une autre manière de gérer les sous-jacents proches de zéro
- Volatilité implicite -- Le concept qui dépend du modèle que vous choisissez
- Skew -- Distinguer les artefacts de modèle des caractéristiques du marché